Les R-algébres de dimensions 2.

[Contrexemple]

Salut,

Normalement c'est tout à fait au niveau du programme de prépas.

Cet article de Médiat recense à isomorphisme prés 3 R-algébres de dim 2 :

http://www.les-mathematiques.net/phorum ... name=y.pdf

Or moi j'en trouve au moins 4 :

C qui est aussi un corps : algébre commutative

R[x] /x^2 qui a un élément 2 nilpotent x : algébre commutative

R[x] /(x-1)x qui n a pas d éléments 2 nilpotent et qui a un diviseur de zéro: algébre commutative

R^2 soit f une forme linéaire alors on prend comme multiplication de l algèbre a*b=f(a). b (on vérifie les axiomes de la R-algébres) alors on obtient une algèbre non commutative.


Qu'en pensez-vous ?

Merci pour vos lumières.

[Hibiscus]

Je sais plus faire de maths de prépas, donc ne pas prendre ma réponse comme correcte, mais je ne comprends pas "comment" tu les trouves, à part les sortir du chapeau.
Si on repart des notations de l'article,
Puisque l'algèbre est 2D, on peut prendre la base $ { 1 , e } $ , et par fermeture, e² est une combinaison linéaire de 1 et de e, i.e, $ e^2=a+b\cdot e $ comme ils le disent.

La complétion du carré donne donc
$ e^2 - b e + \frac{b^2}{4} = a + \frac{b^2}{4} $
Soit,
$ \left(e-\frac{b}{2}\right)^2 = \bar{e}^2 $ avec $ \bar{e} = a + \frac{b^2}{4} $
Les trois cas dépendent donc de cette valeur :

• Si $ 4a = -b^2 $ alors $\bar{e} $ est le nilpotent $\epsilon$, leurs "dual numbers",

• Si $ 4a > -b^2 $ alors on a les split-complexes, qu'ils appellent visiblement perplexes, de base (1,j) avec j²=1,

• Si $ 4a < -b^2 $ alors on a les complexes.

Il ne peut pas y avoir de quatrième, déjà, "de base" ?

Edit : apparemment, il faudrait appeler tout ça nombres complexes généralisés
https://www.tandfonline.com/doi/abs/10. ... 4.11953236

[Contrexemple]

J'en décris 4 en expliquant pourquoi elles ne peuvent être isomorphe :

1/ C qui est aussi un corps : algébre commutative

2/ R[x] /x^2 qui a un élément 2 nilpotent x : algébre commutative

3/ R[x] /(x-1)x qui n a pas d éléments 2 nilpotent et qui a un diviseur de zéro: algébre commutative

4/ R^2 soit f une forme linéaire alors on prend comme multiplication de l algèbre a*b=f(a). b (on vérifie les axiomes de la R-algébres) alors on obtient une algèbre non commutative.

Sorti du chapeau ou non, j'en compte pour l'instant au moins 4.



Edit : @Hibiscus : par construction les seuls algébres que tu calcules sont commutatives, or comme je le montre il y a aussi des algébres non commutatives en dim 2.

[dSP]

Hum, $\mathbb{R}[X]/(P)$ est isomorphe à $\mathbb{R}^2$ lorsque $P$ est scindé à racines simples et de degré $2$.

Il n'y en a bien que trois à isomorphisme près : $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}[X]/(X^2)$.

[Contrexemple]

R^2 soit f une forme linéaire alors on prend comme multiplication de l algèbre a*b=f(a). b (on vérifie les axiomes de la R-algébres) alors on obtient une algèbre non commutative.

Je munie R^2 d'une multiplication non commutative.

[JeanN]

R^2 soit f une forme linéaire alors on prend comme multiplication de l algèbre a*b=f(a). b (on vérifie les axiomes de la R-algébres) alors on obtient une algèbre non commutative.

Je munie R^2 d'une multiplication non commutative.

Soit A une R-algèbre de dimension 2, de neutre multiplicatif noté $1_A$ et $e\in A\setminus vect(1)$ de sorte que $A=vect(1_A,e)$.

Il n'est alors pas très difficile de vérifier que A est commutative (conséquence directe de la bilinéarité du produit).
Mais on n'a peut-être pas les mêmes axiomes d'une R-algèbre.

[Contrexemple]

Ah bon, dans la définition que tu donnes à tes éléves tu ajoutes la condition unitaire à gauche et à droite* ?

En tout cas, pour l'instant, wiki ne le fait pas.

* : je rappelle qu'une R-algébre n'est pas forcément commutative (voir l'ensemble des matrices carrés en dim plus grande que 2)

Edit : on dirait que ce que tu appelles R-algébre est en fait une R-algébre unifére.

[JeanN]

Ah bon, dans la définition que tu donnes à tes éléves tu ajoutes la condition unitaire à gauche et à droite* ?

Oui, comme le fait l'article que tu cites dans ton premier message d'ailleurs si tu regardes bien.

[Contrexemple]

Oui, on peut dire que qu'une R-algébre est une R-algébre unifére.
Comme on a le droit de dire qu'un quadrilatére est un carré...

J'ai compris, en fait fallait comprendre R-algébre selon Médiat...

En tous les cas merci de l'attention que vous avez portée à ce fil.

Au revoir.