Petit exo algèbre linéaire

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Petit exo algèbre linéaire

Message par Tamador195 » 17 mai 2021 15:45

Bonjour, je cherche un exo où il s’agit de montrer que pour 2 matrices de même taille à coefficient réels, (AB)^n=0 => (BA)^n=0

J’ai pu le résoudre en utilisant le résultat hors programme selon lequel AB et BA ont les mêmes valeurs propres.

Quelqu’un verrait-il une méthode n’utilisant que des résultats au programme ?
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Re: Petit exo algèbre linéaire

Message par Contrexemple » 17 mai 2021 16:03

Salut,

Commence par remarquer que si B est inversible alors : BA et AB sont semblables.
Utilise le fait que les matrices inversible sont denses dans l'ensemble des matrices pour conclure.

Edit1 : cela ne marche pas

Edit2 : par contre cette histoire de densité permet de montrer facilement que AB et BA ont même polynôme caractéristique et donc même valeur propre.

Je détaille ici :
SPOILER:
$ $ Soit $A$ matrice carré et $x$ un réel fixés.
On pose $f_{x,A}(B)=det(AB-x.Id)$ et $g_{x,A}(B)=det(BA-xId)$
On a $f_{x,A}(B)=g_{x,A}(B)$ quand $B$ inversible.
Donc par continuité des 2 fonctions et densité des matrices inversibles
on a pour tout $B$ matrice carré $f_{x,A}(B)=g_{x,A}(B)$

Donc $AB$ et $BA$ ont même fonction polynômiale caractéristique sur les réels, donc ont le même polynôme caractéristique.

fin

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Re: Petit exo algèbre linéaire

Message par JeanN » 17 mai 2021 19:30

Tamador195 a écrit :
17 mai 2021 15:45
Bonjour, je cherche un exo où il s’agit de montrer que pour 2 matrices de même taille à coefficient réels, (AB)^n=0 => (BA)^n=0

J’ai pu le résoudre en utilisant le résultat hors programme selon lequel AB et BA ont les mêmes valeurs propres.

Quelqu’un verrait-il une méthode n’utilisant que des résultats au programme ?
$(AB)^n =0$ implique $(BA)^{n+1}=0$ et je te laisse conclure :)
Edit : je laisse ce qui figure ci-dessus mais je me demande si A et B sont de taille quelconque (par rapport à n)...
EditEdit : Dès que n>1, on peut trouver A et B dans $M_n(K)$ tel que AB=0 et BA non nul donc j'imagine que n est bien la taille des matrices A et B.
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Re: Petit exo algèbre linéaire

Message par Tamador195 » 17 mai 2021 21:32

Merci beaucoup! n est effectivement la taille des matrices considérées
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