Petit exo algèbre linéaire
Petit exo algèbre linéaire
Bonjour, je cherche un exo où il s’agit de montrer que pour 2 matrices de même taille à coefficient réels, (AB)^n=0 => (BA)^n=0
J’ai pu le résoudre en utilisant le résultat hors programme selon lequel AB et BA ont les mêmes valeurs propres.
Quelqu’un verrait-il une méthode n’utilisant que des résultats au programme ?
J’ai pu le résoudre en utilisant le résultat hors programme selon lequel AB et BA ont les mêmes valeurs propres.
Quelqu’un verrait-il une méthode n’utilisant que des résultats au programme ?
2019/2021: MPSI/MP*
2021-... : CentraleSupélec
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Re: Petit exo algèbre linéaire
Salut,
Commence par remarquer que si B est inversible alors : BA et AB sont semblables.
Utilise le fait que les matrices inversible sont denses dans l'ensemble des matrices pour conclure.
Edit1 : cela ne marche pas
Edit2 : par contre cette histoire de densité permet de montrer facilement que AB et BA ont même polynôme caractéristique et donc même valeur propre.
Je détaille ici :
Commence par remarquer que si B est inversible alors : BA et AB sont semblables.
Utilise le fait que les matrices inversible sont denses dans l'ensemble des matrices pour conclure.
Edit1 : cela ne marche pas
Edit2 : par contre cette histoire de densité permet de montrer facilement que AB et BA ont même polynôme caractéristique et donc même valeur propre.
Je détaille ici :
SPOILER:
Re: Petit exo algèbre linéaire
$(AB)^n =0$ implique $(BA)^{n+1}=0$ et je te laisse conclureTamador195 a écrit : ↑17 mai 2021 15:45Bonjour, je cherche un exo où il s’agit de montrer que pour 2 matrices de même taille à coefficient réels, (AB)^n=0 => (BA)^n=0
J’ai pu le résoudre en utilisant le résultat hors programme selon lequel AB et BA ont les mêmes valeurs propres.
Quelqu’un verrait-il une méthode n’utilisant que des résultats au programme ?
Edit : je laisse ce qui figure ci-dessus mais je me demande si A et B sont de taille quelconque (par rapport à n)...
EditEdit : Dès que n>1, on peut trouver A et B dans $M_n(K)$ tel que AB=0 et BA non nul donc j'imagine que n est bien la taille des matrices A et B.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Petit exo algèbre linéaire
Merci beaucoup! n est effectivement la taille des matrices considérées
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