Exercice probabilité

[oty20]

@Mourien dans l'exercice, il demande égale, pourquoi $\leq m$ ?

Pour le $\leq m$

$$
\operatorname{Card}\left\{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right) \in [[ 1, m ]]^{k} \mid \sum_{i=1}^{k} m_{i} \leq m \right\}
$$

On pourrait introduire:
$$m_{k+1}=m- \sum_{i=1}^{k} m_{i} $$

Ainsi:

$$
\operatorname{Card}\left\{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right) \in [[ 1, m ]]^{k} \mid \sum_{i=1}^{k} m_{i} \leq m \right\}= \operatorname{Card}\left\{\left(m_{1}, \ldots, m_{k+1}\right) \in [[ 1, m ]]^{k+1} \mid \sum_{i=1}^{k+1} m_{i} = m \right\} + \operatorname{Card}\{ \text{la cas}~~ m_{k+1}=0~~\}

$$

[Mourien]

Non ma question portait sur le fait que les $ m_i $ doivent être $\le m$ (tandis que leur somme ne l'est pas nécessairement).

[oty20]

Ah oui j'ai lu en diagonale désolé, oui effectivement dans ce cas il faut voir le coeff de $x^{n}$ dans :

$(x+.....+x^{m})^{k}$ je pense pas que le résultat s'écrit de manière simplifiée.

https://www.mathpages.com/home/kmath337/kmath337.htm

[oty20]

Maintenant pour terminer:

$$(x+\cdots +x^{m})^{k} = x^{k} (1+\cdots +x^{m-1})^{k} $$

Or

$$(1+\cdots +x^{m-1})^{k} = (x^{m}-1)^{k} \frac{1}{(x-1)^{k}} $$

Maintenant par récurrence on peut montrer que :

$$
\frac{1}{(x-1)^{k}}=\left(\begin{array}{l}
k \\
k
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
k+1 \\
k
\end{array}\right) x+\left(\begin{array}{c}
k+2 \\
k
\end{array}\right) x^{2}+\cdots ~~(*)
$$

Or

$$x^{k} (x^{m}-1)^{k} = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j}(-1)^{k-j} x^{mj +k } $$

De là cela nous donne les coefficients à sélectionner pour former le $x^{n}$.

[Mourien]

C'est splendide la combinatoire par séries formelles !

(dans la relation $(*)$ ce sont des $\binom {k+n-1}{k-1}$ : teste avec k=1 !
il y a en outre un $(-1)^k$ qui a été omis)

du coup on trouve avec ces corrections $\displaystyle\sum_{mj+k+i=n}\binom kj(-1)^{-j}\binom {k+i-1}{k-1}=\displaystyle\sum_{j=0}^{k}\binom kj(-1)^{j}\binom {n-jm-1}{k-1}$


Ca ne me semble pas très loin de mon

$\displaystyle N_{n-k,k,\le m-1}=\sum_{j=0}^k (-1)^j \binom kj \binom {n-jm-1}{n-k-jm}$

Dans tous les cas, moi je ne sais pas calculer ce genre de chose