Exercice séries entières et matrices
Exercice séries entières et matrices
Bonsoir,
je bloque sur l'énoncé suivant, je suis à la recherche d'un indice ou d'une idée svp.
Soit $ A $ $ \in $ $ M_p(\mathbb{R}) $, calculer le rayon et la somme de la série $ \sum_{n \ge 0}{Tr(A^n)\times z^n} $ en fonction de $ \chi_A $
Pour le rayon j'ai trouvé que c'était le rayon spectral de la matrice mais je ne suis pas sûr, et pour la somme de la série je n'ai pas vraiment d'idée ...
je bloque sur l'énoncé suivant, je suis à la recherche d'un indice ou d'une idée svp.
Soit $ A $ $ \in $ $ M_p(\mathbb{R}) $, calculer le rayon et la somme de la série $ \sum_{n \ge 0}{Tr(A^n)\times z^n} $ en fonction de $ \chi_A $
Pour le rayon j'ai trouvé que c'était le rayon spectral de la matrice mais je ne suis pas sûr, et pour la somme de la série je n'ai pas vraiment d'idée ...
2019-2020 : PCSI
2020-2021 : PC*
2021-2022 : PC* 5/2
2022-…. : CentraleSupélec
2020-2021 : PC*
2021-2022 : PC* 5/2
2022-…. : CentraleSupélec
Re: Exercice séries entières et matrices
Le rayon de convergence $R$ est plutôt l'inverse du rayon spectral $\rho$, hormis dans le cas embêtant où : $\lambda_1^n+...+\lambda_r^n\rightarrow 0$ avec les $\lambda_i$ les valeurs propres de module $\rho$. (dans ce cas, on a tout de même $R\ge \dfrac 1{\rho}$)
Ensuite, écris ce que vaut $Tr(A^n)$ en fonction des valeurs propres et développe avec une sommation par paquets. Ensuite essaie de faire apparaître une décomposition en éléments simples d'une fraction faisant intervenir $\chi_A$.
Ensuite, écris ce que vaut $Tr(A^n)$ en fonction des valeurs propres et développe avec une sommation par paquets. Ensuite essaie de faire apparaître une décomposition en éléments simples d'une fraction faisant intervenir $\chi_A$.
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon
Re: Exercice séries entières et matrices
Considère que $A\in M_n(C)$ et trigonalise $A$.lamdba a écrit : ↑25 mai 2021 20:47Bonsoir,
je bloque sur l'énoncé suivant, je suis à la recherche d'un indice ou d'une idée svp.
Soit $ A $ $ \in $ $ M_p(\mathbb{R}) $, calculer le rayon et la somme de la série $ \sum_{n \ge 0}{Tr(A^n)\times z^n} $ en fonction de $ \chi_A $
Pour le rayon j'ai trouvé que c'était le rayon spectral de la matrice mais je ne suis pas sûr, et pour la somme de la série je n'ai pas vraiment d'idée ...
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exercice séries entières et matrices
Mourien a écrit : ↑25 mai 2021 21:19Le rayon de convergence $R$ est plutôt l'inverse du rayon spectral $\rho$, hormis dans le cas embêtant où : $\lambda_1^n+...+\lambda_r^n\rightarrow 0$ avec les $\lambda_i$ les valeurs propres de module $\rho$. (dans ce cas, on a tout de même $R\ge \dfrac 1{\rho}$)
Ensuite, écris ce que vaut $Tr(A^n)$ en fonction des valeurs propres et développe avec une sommation par paquets. Ensuite essaie de faire apparaître une décomposition en éléments simples d'une fraction faisant intervenir $\chi_A$.
Oui, bien sûr le rayon est l’inverse du rayon spectrale (dans le cas où 0 n’est pas la seule valeur propre de A, sinon c'est la série nulle de rayon $ \infty $ ) c’est une étourderie de ma part.
Ok je vais essayer merci beaucoup
2019-2020 : PCSI
2020-2021 : PC*
2021-2022 : PC* 5/2
2022-…. : CentraleSupélec
2020-2021 : PC*
2021-2022 : PC* 5/2
2022-…. : CentraleSupélec
Re: Exercice séries entières et matrices
Bonjour, je pense avoir trouvé la réponse.
Considérons alors $ Sp(A) = {{\lambda_1,...,\lambda_l}} $ le spectre de $ A $ avec $ l \leq p $.
Posons $ S $ la somme de la série considérée.
On a $ S(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \ {Tr(A^n) \times z^n} $. Par conséquent :
$ S(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \ {\sum_{i=1}^{l} \ {\lambda_i}^n} \times z^n $ On a alors une somme de $ l $ séries convergentes car le rayon de la série est l'inverse du rayon spectral, on peut donc intervertir les deux sommes. Alors $ S(z) = \sum_{i=1}^{l} \frac{1}{1 - \lambda_i\times z} $ Or en utilisant la décomposition de $ \frac{P'}{P} $, on a :
$ S(z) = z\times \frac{\chi_A'(\frac{1}{z})}{\chi_A(\frac{1}{z})} $
Considérons alors $ Sp(A) = {{\lambda_1,...,\lambda_l}} $ le spectre de $ A $ avec $ l \leq p $.
Posons $ S $ la somme de la série considérée.
On a $ S(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \ {Tr(A^n) \times z^n} $. Par conséquent :
$ S(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \ {\sum_{i=1}^{l} \ {\lambda_i}^n} \times z^n $ On a alors une somme de $ l $ séries convergentes car le rayon de la série est l'inverse du rayon spectral, on peut donc intervertir les deux sommes. Alors $ S(z) = \sum_{i=1}^{l} \frac{1}{1 - \lambda_i\times z} $ Or en utilisant la décomposition de $ \frac{P'}{P} $, on a :
$ S(z) = z\times \frac{\chi_A'(\frac{1}{z})}{\chi_A(\frac{1}{z})} $
2019-2020 : PCSI
2020-2021 : PC*
2021-2022 : PC* 5/2
2022-…. : CentraleSupélec
2020-2021 : PC*
2021-2022 : PC* 5/2
2022-…. : CentraleSupélec
Re: Exercice séries entières et matrices
Exact, quelques petits corrections :
$l=p$ (les valeurs propres sont sommées avec répétition dans la trace)
c'est plutôt $\dfrac 1z \dfrac{\chi_A'(\frac 1z)}{\chi_A(\frac 1z)}$
$l=p$ (les valeurs propres sont sommées avec répétition dans la trace)
c'est plutôt $\dfrac 1z \dfrac{\chi_A'(\frac 1z)}{\chi_A(\frac 1z)}$
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon
Re: Exercice séries entières et matrices
Oui, bien évidemment, merci beaucoup Mourien !
2019-2020 : PCSI
2020-2021 : PC*
2021-2022 : PC* 5/2
2022-…. : CentraleSupélec
2020-2021 : PC*
2021-2022 : PC* 5/2
2022-…. : CentraleSupélec