Exercice séries entières et matrices

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Exercice séries entières et matrices

Message par lamdba » 25 mai 2021 20:47

Bonsoir,
je bloque sur l'énoncé suivant, je suis à la recherche d'un indice ou d'une idée svp.

Soit $ A $ $ \in $ $ M_p(\mathbb{R}) $, calculer le rayon et la somme de la série $ \sum_{n \ge 0}{Tr(A^n)\times z^n} $ en fonction de $ \chi_A $

Pour le rayon j'ai trouvé que c'était le rayon spectral de la matrice mais je ne suis pas sûr, et pour la somme de la série je n'ai pas vraiment d'idée ...
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Re: Exercice séries entières et matrices

Message par Mourien » 25 mai 2021 21:19

Le rayon de convergence $R$ est plutôt l'inverse du rayon spectral $\rho$, hormis dans le cas embêtant où : $\lambda_1^n+...+\lambda_r^n\rightarrow 0$ avec les $\lambda_i$ les valeurs propres de module $\rho$. (dans ce cas, on a tout de même $R\ge \dfrac 1{\rho}$)

Ensuite, écris ce que vaut $Tr(A^n)$ en fonction des valeurs propres et développe avec une sommation par paquets. Ensuite essaie de faire apparaître une décomposition en éléments simples d'une fraction faisant intervenir $\chi_A$.
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Re: Exercice séries entières et matrices

Message par JeanN » 25 mai 2021 22:23

lamdba a écrit :
25 mai 2021 20:47
Bonsoir,
je bloque sur l'énoncé suivant, je suis à la recherche d'un indice ou d'une idée svp.

Soit $ A $ $ \in $ $ M_p(\mathbb{R}) $, calculer le rayon et la somme de la série $ \sum_{n \ge 0}{Tr(A^n)\times z^n} $ en fonction de $ \chi_A $

Pour le rayon j'ai trouvé que c'était le rayon spectral de la matrice mais je ne suis pas sûr, et pour la somme de la série je n'ai pas vraiment d'idée ...
Considère que $A\in M_n(C)$ et trigonalise $A$.
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Re: Exercice séries entières et matrices

Message par lamdba » 25 mai 2021 23:03

Mourien a écrit :
25 mai 2021 21:19
Le rayon de convergence $R$ est plutôt l'inverse du rayon spectral $\rho$, hormis dans le cas embêtant où : $\lambda_1^n+...+\lambda_r^n\rightarrow 0$ avec les $\lambda_i$ les valeurs propres de module $\rho$. (dans ce cas, on a tout de même $R\ge \dfrac 1{\rho}$)

Ensuite, écris ce que vaut $Tr(A^n)$ en fonction des valeurs propres et développe avec une sommation par paquets. Ensuite essaie de faire apparaître une décomposition en éléments simples d'une fraction faisant intervenir $\chi_A$.

Oui, bien sûr le rayon est l’inverse du rayon spectrale (dans le cas où 0 n’est pas la seule valeur propre de A, sinon c'est la série nulle de rayon $ \infty $ ) c’est une étourderie de ma part.

Ok je vais essayer merci beaucoup
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Re: Exercice séries entières et matrices

Message par lamdba » 27 mai 2021 09:43

Bonjour, je pense avoir trouvé la réponse.

Considérons alors $ Sp(A) = {{\lambda_1,...,\lambda_l}} $ le spectre de $ A $ avec $ l \leq p $.

Posons $ S $ la somme de la série considérée.

On a $ S(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \ {Tr(A^n) \times z^n} $. Par conséquent :

$ S(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \ {\sum_{i=1}^{l} \ {\lambda_i}^n} \times z^n $ On a alors une somme de $ l $ séries convergentes car le rayon de la série est l'inverse du rayon spectral, on peut donc intervertir les deux sommes. Alors $ S(z) = \sum_{i=1}^{l} \frac{1}{1 - \lambda_i\times z} $ Or en utilisant la décomposition de $ \frac{P'}{P} $, on a :
$ S(z) = z\times \frac{\chi_A'(\frac{1}{z})}{\chi_A(\frac{1}{z})} $
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Re: Exercice séries entières et matrices

Message par Mourien » 27 mai 2021 12:53

Exact, quelques petits corrections :

$l=p$ (les valeurs propres sont sommées avec répétition dans la trace)

c'est plutôt $\dfrac 1z \dfrac{\chi_A'(\frac 1z)}{\chi_A(\frac 1z)}$
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Re: Exercice séries entières et matrices

Message par lamdba » 27 mai 2021 13:10

Oui, bien évidemment, merci beaucoup Mourien !
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