approximation diophantienne régulière

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approximation diophantienne régulière

Message par Mourien » 26 mai 2021 14:35

Bonjour,
Je cherche l'énoncé suivant (issu je crois des oraux des ENS):
Soit $ a,b $ réels non nuls. On note pour $\delta >0$ : $A=\{x\in \mathbb Z : \exists y \in \mathbb Z: |ax+by| < \delta\}$

Montrer qu'il existe $L>0$ tel que tout intervalle de $\mathbb R$ de longueur $L$ intersecte $A$.
Le cas $a$ et $b$ commensurables est aisé.

Mais dans le cas contraire, je n'ai pas beaucoup de succès : on peut se ramener facilement à l'approximation diophantienne d'un irrationnel : $$\Big|\frac ab - \frac pq\Big|\le \frac{\delta}{q|b|}$$

mais pour obtenir cette inégalité pour $q$ pris parmi un intervalle d'entiers arbitraire (de longueur suffisante $L$), j'échoue. Mes tentatives consistaient à utiliser le principe des tiroirs, ce qui ne laisse pas invariant l'ensemble dans lequel $q$ doit être choisi...

Auriez-vous des idées ?

Merci d'avance ! :D
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon

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