Approcher un point sur le bord d'un convexe par un segment

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Approcher un point sur le bord d'un convexe par un segment

Message par Mourien » 29 mai 2021 20:01

Bonjour, dans le contexte d'un exercice de topologie, je me suis posé la question suivante :
Soit $ C $ un convexe non fermé d'un $\mathbb R$-evn de dimension finie. Soit $P\in\bar{C}\setminus C$. Existe-t-il $X\in C: [X,P[\subset C$ ?
avec $[X,P[=\{(1-t)X+tP:0\le t<1\}$
Mon intuition m'a suggéré ce résultat, je parviens à le prouver dans le cas des dimensions $0$ ou $1$ mais plus en dimension $\ge 2$...

Tout au plus ai-je une pseudo direction privilégiée:

si $P_n \rightarrow P$ alors $\dfrac{P-P_n}{||P-P_n||}\rightarrow \vec u$. (sphère unité compacte, on se restreint à une sous-suite convergente)

Mais cela ne donnera rien, on peut penser à l'hypographe de $x\mapsto \sqrt x$ intersecté avec $x>0$ : on a des points qui tendent horizontalement vers $0$ sans que $]0,\alpha]$ soit inclus dans ce convexe pour $\alpha >0$.

Auriez vous des idées sur la question ?

Merci d'avance :D
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon

Inversion

Re: Approcher un point sur le bord d'un convexe par un segment

Message par Inversion » 29 mai 2021 21:48

Salut,

J'ai quelques idées comme ça :
- Tu peux supposer quitte à translater ton convexe que $0$ est dedans.
- Ensuite tu peux supposer, quitte à te restreindre à l'espace vectoriel engendré par le convexe, que la dimension de ton convexe est égale à la dimension de l'espace.
- Ensuite tu peux montrer, après t'être restreint à l'espace vectoriel engendré par le convexe que je noterai $E$ par la suite, que le convexe est d'intérieur non vide dans cet espace $E$ (je suis pas sûr que ce soit vrai mais à mon avis ça l'est, on doit pouvoir s'en sortir en prenant une base de $E$ formée par des vecteurs de la forme $OP$ avec $P$ dans $C$ puis en faisant des combinaisons linéaires appropriées).
- Ensuite on peut à mon avis montrer que pour tout $X$ dans l'intérieur de $C$ on a $[XP[$ qui est inclus dans $C$ en raisonnant par l'absurde (si ce n'est pas le cas, il existe un segment de la forme $[QP[$ inclus dans $[XP[$ tel qu'aucun point de ce segment n'appartient à $P$, et on peut réussir à trouver un segment de la forme $[YP_n]$ qui intersecte $[QP[$ avec $P_n$ un point de $C$ très proche de $P$ et $Y$ dans une petite boule centrée sur $X$ incluse dans le convexe).

Ceci dit, je n'ai rien vérifié, mais comme ça tu vas pouvoir réfléchir :mrgreen:

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