Mon intuition m'a suggéré ce résultat, je parviens à le prouver dans le cas des dimensions $0$ ou $1$ mais plus en dimension $\ge 2$...Soit $ C $ un convexe non fermé d'un $\mathbb R$-evn de dimension finie. Soit $P\in\bar{C}\setminus C$. Existe-t-il $X\in C: [X,P[\subset C$ ?
avec $[X,P[=\{(1-t)X+tP:0\le t<1\}$
Tout au plus ai-je une pseudo direction privilégiée:
si $P_n \rightarrow P$ alors $\dfrac{P-P_n}{||P-P_n||}\rightarrow \vec u$. (sphère unité compacte, on se restreint à une sous-suite convergente)
Mais cela ne donnera rien, on peut penser à l'hypographe de $x\mapsto \sqrt x$ intersecté avec $x>0$ : on a des points qui tendent horizontalement vers $0$ sans que $]0,\alpha]$ soit inclus dans ce convexe pour $\alpha >0$.
Auriez vous des idées sur la question ?
Merci d'avance