En utilisant la conservation de la trace, on se ramène à établir : $\displaystyle \sum_i A_{i,i}^2\le\sum_i \lambda_i^2$Soit $ A\in S_n(\mathbb R) $. On note ses valeurs propres coptées avec multiplicité $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Etablir :
$\displaystyle\sum_{i<j} A_{i,i}A_{j,j}\ge\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j$.
J'ai essayé d'utiliser le théorème spectral : $A=O\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)O^T$ avec $O\in O_n(\mathbb R)$.
Vu $A_{i,i}=\displaystyle\sum_k O_{i,k}^2\lambda_k$, j'ai pensé à utiliser Cauchy-Schwarz ensuite, mais je n'ai pas abouti...
Quelqu'un aurait-il une piste à me suggérer ?
Merci d'avance !