Calcul d'un produit infini

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 3

Inscription : 22 mars 2020 15:08

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Calcul d'un produit infini

Message par Mourien » 04 juin 2021 16:47

Coucou le forum, je me pose la question suivante :
Soit $ -1<\lambda<1 $. Calcul de $\displaystyle \prod_{i=0}^{+\infty} (1+\lambda^i)$.
En effet, en passant au $\ln$, la série converge absolument puisque $\ln$ est lipschitzien au voisinage de $1$ et que $|\lambda|^i$ est le terme général positif d'une série convergente.

Auriez vous une idée de comment calculer ce produit ?

Merci d'avance ! :D
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon

Messages : 3901

Inscription : 04 sept. 2005 19:27

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Calcul d'un produit infini

Message par JeanN » 04 juin 2021 17:19

Je vois pas comment simplifier le calcul.
Es-tu sûr que les exposants ne sont pas 2^i ?
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève

Messages : 3

Inscription : 22 mars 2020 15:08

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Calcul d'un produit infini

Message par Mourien » 04 juin 2021 17:48

Non il s'agit bien d'un exposant i.

Pour info ça provient de l'exercice suivant
Soit $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ vérifiant $\forall x \in \mathbb R, f'(x)= f(x)+ f(\lambda x)$. Montrer que $f$ est développable en série entière sur $\mathbb R$ et donner un équivalent de $f$ en $+\infty$.
J'ai trouvé pour l'équivalent $e^x f(0)\displaystyle\prod_{i=0}^{\infty} (1+\lambda^i)$.

Sinon, comment fait on pour l'exposant $2^i$ ?
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon

Messages : 3901

Inscription : 04 sept. 2005 19:27

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Calcul d'un produit infini

Message par JeanN » 04 juin 2021 18:37

Distributivité très généralisée (familles sommables) et écriture d'un entier en base 2.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève

Messages : 3

Inscription : 22 mars 2020 15:08

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Calcul d'un produit infini

Message par Mourien » 04 juin 2021 21:47

Ok !

Par unicité de l'écriture en base 2 : $\displaystyle\prod_{i=0}^{+\infty} (1+\lambda^{2^i}) = \sum_{i\in\mathbb N} \lambda ^i = \dfrac 1{1-\lambda}$

Merci de votre aide !
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon

Répondre