Nature d'une série

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Nature d'une série

Message par sotlitthaire » 05 juin 2021 09:58

Salut, je suis bloqué à la question 4). Si $ \sum_{n\geqslant 0} u_n $ converge alors d'après la questions 1) $ \sum_{n\geqslant 0}v_n $ converge mais pour la réciproque je ne vois pas comment utiliser les hypothèses.

C'est l'exercice suivant : https://ibb.co/frPf4m9

Je n'ai pas réussi à attacher l'image à mon message.

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Re: Nature d'une série

Message par sotlitthaire » 05 juin 2021 10:31

Je pense avoir trouvé quelque chose mais je ne suis pas sûr de ma rédaction. Pouvez-vous me dire si ce que j'écris ci-dessous est correct ?

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Re: Nature d'une série

Message par sotlitthaire » 05 juin 2021 11:45

Deux lemmes que je vais utiliser dans la suite :
Lemme 1 : pour tout $ n\geqslant\phi(0) $, il existe un unique $ n'\in\mathbb N $ tel que $ \phi(n')\leqslant n<\phi(n'+1) $.
Démonstration :
SPOILER:
Fixons $ n\geqslant\phi(0) $. Alors $ \{k\in\mathbb N\mid \phi(k)\leqslant n\} $ est une partie non vide de $ \mathbb N $ car contient $ 0 $ et majorée par $ n $ donc elle admet un élément maximum qu'on note $ n' $ et ce dernier est unique par unicité du maximum.
Lemme 2 : $ \lim_{n\to +\infty}n'=+\infty $
Démonstration :
SPOILER:
Soit $ A\in\mathbb R $. On pose $ N:=\phi(\lfloor A\rfloor +1)\in\mathbb N $. On a donc pour tout $ n\geqslant N $, $ \lfloor A\rfloor +1\leqslant n' $ par définition de $ n' $, donc $ n'\geqslant A $.
Revenons à la démonstration, on rappelle qu'on dispose des trois hypothèses suivantes :
1) $ \lim_{n\to +\infty}u_n=0 $
2) $ \sum_{n\geqslant 0}v_n $ converge
3) $ \exists M\in\mathbb R_+^*\,\,\forall n\in\mathbb N\,\,\phi(n+1)-\phi(n)\leqslant M $ (on a bien $ M $ strictement positif même si l'énoncé ne le suppose pas car $ \phi $ est strictement croissante)

On a pour tout $ n\geqslant\phi(0) $, $ \sum_{k=0}^n u_k=\sum_{k=0}^{\phi(n')}u_k+\sum_{k=1+\phi(n')}^n u_k=\sum_{k=0}^{n'}v_k+\sum_{k=1+\phi(n')}^n u_k $.
Or d'après l'hypothèse 2) et le lemme 2, la suite $ (\sum_{k=0}^{n'}v_k)_{n\in\mathbb N} $ converge vers la somme $ V $ de la série $ \sum_{n\geqslant 0}v_n $.
Il reste donc à montrer que la suite $ (\sum_{k=1+\phi(n')}^n u_k)_{n\in\mathbb N} $ converge vers $ 0 $.
Soit $ \epsilon\in\mathbb R_+^* $. D'après l'hypothèse 1), il existe $ N\in\mathbb N $ tel que pour tout $ n\geqslant N $, $ \lvert u_n\rvert\leqslant\frac{\epsilon}{M} $.
Donc pour tout $ n\geqslant \max\{\phi(0),N\} $, à l'aide de l'inégalité triangulaire et de l'hypothèse 3) (et $ n\leqslant \phi(n'+1) $), on obtient $ \lvert\sum_{k=1+\phi(n')}^n u_k\rvert\leqslant M\frac{\epsilon}{M}=\epsilon $.
D'où la convergence de $ \sum_{n\geqslant 0}u_n $ et sa somme vaut $ V $.

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Re: Nature d'une série

Message par Mourien » 05 juin 2021 13:13

Ca m'a l'air bon (et très bien rédigé :D)

Sinon, pour montrer que deux sommes (séries, intégrales) sont de même nature, tu peux t'intéresser à leur différence et montrer qu'elle est bornée.
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon

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Re: Nature d'une série

Message par sotlitthaire » 06 juin 2021 03:07

Merci !
Oui c'est vrai que si on s'intéresse juste à la nature, la bornitude de la différence suffit.

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