Polynôme à racines simples

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Polynôme à racines simples

Message par Mourien » 06 juin 2021 23:01

Bonjour,
je cherche cet exercice :
Montrer que $ P=X^n-\sum_{i=0}^{n-1} X^i $ est à racines simples dans $\mathbb C$.
J'ai remarqué que $P=X^n - \dfrac{X^n-1}{X-1}=\dfrac{X^{n+1}-2X^n+1}{X-1}=\dfrac Q{X-1}$

donc $P'=\dfrac{nX^{n+1}-(2n-1)X^n+2nX^{n-1}-1}{(X-1)^2}=\dfrac R{(X-1)^2}$

Soit $z$ racine de $P$ et de $P'$. Alors hormis cas trivial $z\neq 1$ puis $Q(z)=R(z)=0$ donc $(R-nQ)(z)=0$ c'est-à-dire $z^n+2nz^{n-1}=n+1$ puis $2(n+1)z^n-1=(n+1)z$...

Peut-on manipuler cette expression jusqu'à arriver à une forme plus simple de $z$, et trouver alors une contradiction ?

Merci :D
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Re: Polynôme à racines simples

Message par JeanN » 07 juin 2021 11:17

Je crois qu'il y a une erreur dans ton calcul de dérivée.
Si les miens sont corrects, j'arrive à montrer que l'unique racine double potentielle vaut $z=\frac{2n}{n+1}$.
En repartant de P(z)=0, en bricolant un peu (étude de fonction ou autre), on arrive à montrer une absurdité (ou n=1, ce qui revient au même).
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Re: Polynôme à racines simples

Message par Mourien » 07 juin 2021 14:55

Effectivement, en recalculant, je trouve plutôt :

$P'=\dfrac {nX^{n+1}+(1-3n)X^n+2nX^{n-1}-1}{(X-1)^2}$

En remplaçant directement $z^{n+1}$ dans $R(z)$, e t après multiplication par $z$ pour simplifier, je parviens à :

$2z^n-(n+1)z+n-1=0$ et je ne me débarrasse pas du $z^n$...

Comment arrivez-vous à $z=\dfrac{2n}{n+1}$ ?
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Re: Polynôme à racines simples

Message par Calli » 07 juin 2021 16:32

Bonjour,
Pour montrer que $P$ est à racines simples, il suffit de montrer que $Q$ est à racines simples, ce qui est plus facile.

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Re: Polynôme à racines simples

Message par Mourien » 07 juin 2021 17:52

En effet, ça marche beaucoup mieux que de dériver la fraction rationnelle.

Si je prends $z$ une racine commune à $Q$ et $Q'$ j'aboutis à $z^n=\dfrac {n+1}2$ puis en réinjectant dans $Q$ : $z\dfrac{n+1}2-(n+1)+1=0$ puis comme JeanN : $z=\dfrac{2n}{n+1}$.

Merci !
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Re: Polynôme à racines simples

Message par Calli » 07 juin 2021 18:08

J'ai l'impression que tu t'y es pris d'une drôle de manière (ou peut-être que j'ai mal compris ce que tu as fait). Comme $Q'=X^{n-1}((n+1)X-2n)$, si $z$ est racine de $Q'$, alors $z=0$ ou $z=\frac{2n}{n+1}$. Puis on vérifie que $z$ ne peut pas être racine de $Q$.

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Re: Polynôme à racines simples

Message par Mourien » 07 juin 2021 21:30

Oui, je m'y suis pris bizarrement :lol:

Merci encore !
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