je cherche cet exercice :
J'ai remarqué que $P=X^n - \dfrac{X^n-1}{X-1}=\dfrac{X^{n+1}-2X^n+1}{X-1}=\dfrac Q{X-1}$Montrer que $ P=X^n-\sum_{i=0}^{n-1} X^i $ est à racines simples dans $\mathbb C$.
donc $P'=\dfrac{nX^{n+1}-(2n-1)X^n+2nX^{n-1}-1}{(X-1)^2}=\dfrac R{(X-1)^2}$
Soit $z$ racine de $P$ et de $P'$. Alors hormis cas trivial $z\neq 1$ puis $Q(z)=R(z)=0$ donc $(R-nQ)(z)=0$ c'est-à-dire $z^n+2nz^{n-1}=n+1$ puis $2(n+1)z^n-1=(n+1)z$...
Peut-on manipuler cette expression jusqu'à arriver à une forme plus simple de $z$, et trouver alors une contradiction ?
Merci