Exo Réduction MP

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Message par Tamador195 » 13 juin 2021 12:56

Bonjour, je traite l’exo suivant : A et B sont 2 matrices de Mn(C).

les 2 premières questions sont à propos du lien entre valeur propre commune et existence d’une matrice C non nulle telle que AC=CB

La 3e demande d’établir que si une telle matrice existe et est de rang r, alors deg(X(A)^X(B))>= r (X(M) désignant le polynôme caractéristique de M)

Et je bloque sur la dernière question, demandant d’étudier la réciproque de la question précédente. Je ne vois pas
comment trouver une telle matrice à partir de cette information, et ne trouve pas de contre exemple. Une piste ?
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Re: Exo Réduction MP

Message par Salimovich » 13 juin 2021 14:17

Si on prend deux matrices A,B ayant même polynôme caractéristique mais non semblables (toujours possible en dimension $ \geq 4 $) alors $ \chi_A \wedge \chi_B $ est de degré n mais il ne peut exister de matrice inversible C telle que $ AC=CB $.
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Re: Exo Réduction MP

Message par Mourien » 13 juin 2021 14:32

Même en dimension $\ge 2$ non ?

Une homothétie de rapport $\lambda$ et une triangulaire supérieure non diagonale avec que des $\lambda$ sur la diagonale

Est-ce que ça marcherait pour tout $0\le r \le n$ en raisonnant par blocs ?
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Re: Exo Réduction MP

Message par Mourien » 13 juin 2021 15:02

Ca marche en effet pour tout $2\le r\le n$ :

Prenons $A=\begin{pmatrix} \lambda I_r \: 0 \\ 0 \: 0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} K_\lambda \: 0\\ 0\: I_{n-r} \end{pmatrix}$ $

avec $K_\lambda$ une matrice triangulaire supérieure non semblable à l'homothétie de rappoort $\lambda$ vu $r\ge 2$

On choisit $\lambda \not \in \{0,1\}$.

En écrivant $M=\begin{pmatrix} M_1 \: M_2 \\ M_3 \: M_4\end{pmatrix}$ $, il vient de $AM=MB$ :

$M_3=M_4=0, \lambda M_1 = K_\lambda M_1$ et $\lambda M_2= M_2$ donc $M_2=0$ et l'argument de Salimovich donne $M_1$ non inversible.

Le cas $r=0$ est trivial, il reste le cas $r=1$...
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Re: Exo Réduction MP

Message par Mourien » 13 juin 2021 15:24

Le cas $r=1$ est assez simple en trigonalisant.

En conclusion, la réciproque est vraie si $deg \: \chi_A \wedge \chi_B \le 1$, fausse en toute généralité sinon.
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Re: Exo Réduction MP

Message par Tamador195 » 13 juin 2021 19:07

Merci beaucoup les boss 💪
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