Exo topo MP
Exo topo MP
Bonjour, je bloque un peu sur un exo :
On pose pour un polynôme P de C[X], N(P) = max (|P(z)| pour z dans U)
On montre que c’est une norme
Puis on nous demande de montrer que pour tout P, |P(0)|=< N(P)
J’ai tenté de raisonner avec la forme trigo, de trouver un argument qui va bien, sans succès. J’ai aussi montré le résultat pour des polynômes de degré 0 et 1, et ai essayé de raisonner par stabilité (DFI), encore sans succès.
Une piste ?
On pose pour un polynôme P de C[X], N(P) = max (|P(z)| pour z dans U)
On montre que c’est une norme
Puis on nous demande de montrer que pour tout P, |P(0)|=< N(P)
J’ai tenté de raisonner avec la forme trigo, de trouver un argument qui va bien, sans succès. J’ai aussi montré le résultat pour des polynômes de degré 0 et 1, et ai essayé de raisonner par stabilité (DFI), encore sans succès.
Une piste ?
2019/2021: MPSI/MP*
2021-... : CentraleSupélec
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Re: Exo topo MP
Bonjour,
Regarder $ \displaystyle \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} P(e^{i\theta}) \,{\rm d}\theta $.
Regarder $ \displaystyle \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} P(e^{i\theta}) \,{\rm d}\theta $.
Re: Exo topo MP
Ou si P est de degré au plus n-1 pour un certain n dans N^*, la valeur moyenne des P(z) où z décrit $U_n$.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exo topo MP
Merci pour l’indication Calli et pour l’explication JeanN. Je vais essayer
2019/2021: MPSI/MP*
2021-... : CentraleSupélec
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Re: Exo topo MP
Ma réponse était une (autre) indication, pas une explication
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exo topo MP
Plus généralement, on peut en fait démontrer que $|P(x)| \leqslant N(P)$ pour tout nombre complexe $x$ tel que $|x| \leqslant 1$. Pour ce faire, tu peux
C'est d'ailleurs en usant du même procédé que l'on peut aussi démontrer que tout polynôme non constant admet une racine sur $\mathbb{C}$.
SPOILER: