Equation différentielle

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Equation différentielle

Message par Mourien » 16 juin 2021 16:00

Bonjour, je cherche l'exercice suivant :
Soit $ y : \mathbb R+ →\mathbb R $ une fonction dérivable telle que $y'(t) = a(t)y(t) + b(t)$ pour tout $t > 0$. On suppose que $a$ est uniformément continue, que $b$ est continue de limite nulle en $+∞$ et que $y$ a une limite en $+∞$. Montrer que $y'(t) → 0$ lorsque $t → ∞$
J'aimerais montrer que $y'$ est uniformément continue au voisinage de l'infini, ce qui serait suffisant pour conclure, car son intégrale converge. Néanmoins le produit de deux fonctions uniformément continues ne le demeure pas nécessairement (il faut la bornitude pour cela)

Cependant, $a$ n'est pas nécessairement bornée (on a au-mieux une majoration affine)...

Des idées ?

Merci d'avance !
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Re: Equation différentielle

Message par JeanN » 16 juin 2021 17:02

Je crois que cet énoncé est faux (probablement mal retranscrit par l'élève qui l'a communiqué à la RMS).
J'avais fait un signalement dans ce sens à la rédaction mais j'ai l'impression qu'il est tombé dans l'oubli :)
Le "bon" énoncé est y'=a(x)+b(x) (sans le facteur y)

"
Puis-je signaler une coquille dans un énoncé figurant sur la page web ?
Il s'agit de l'exercice 108 du cru 2019.
La relation présentée est y'=ay+b.
La bonne relation est y'=a+b (cf rapport du concours ENS que j'ai fini par aller voir après avoir séché sur l'énoncé erronné :))."
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Re: Equation différentielle

Message par Mourien » 16 juin 2021 21:16

Merci, en effet, cf https://www.ens.psl.eu/sites/default/fi ... jets-1.pdf
(2nd exo de la planche 22)
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Re: Equation différentielle

Message par Calli » 17 juin 2021 00:04

Bonjour,
Je signale l'existence d'un corrigé non officiel à ces exercices d'oral d'ENS disponible ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum ... 019_1_.pdf. Il est le fruit de ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum ... ?4,1841908 dans un autre forum qui discutait de ces planches d'oraux.

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