Après beaucoup de recherche, j'ai trouvé cette preuve :Soit $ f\in\mathcal C^2(\mathbb R^n,\mathbb R) $. Montrer que $\Delta f =\displaystyle \sum_{k=1}^n \partial_k^2 f$ est indépendant de la base orthonormée choisie pour le calculer.
Je prends $e=(e_1,\dots,e_n)$ et $\varepsilon=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)$ deux bases orthonormées de $\mathbb R^n$.
Je fixe $u\in\mathbb R^n$.
Je remarque que $(x,y)\mapsto \partial_x\partial_y f(u)$ est une forme bilinéaire symétrique.
En effet le théorème de Schwartz donne le caractère symétrique, et pour $x,y,y'\in \mathbb R^n$ ainsi que $\lambda\in\mathbb R$, on écrit :
$\partial_{x}\partial_{y+\lambda y'} f(u)= \partial_x \operatorname d f(u).(y+\lambda y')$
et on conclut avec la linéarité de la différentielle et de la dérivation partielle.
On note sa matrice dans la base $\varepsilon $ $H_{\varepsilon}(f)$, celle dans la base $e$ $H_e(f)$.
Le changement de base pour une forme bilinéaire donne :
$H_{\varepsilon}(f) = {^t\mathcal P}_{e\rightarrow \varepsilon} H_e(f) \mathcal P_{e\rightarrow \varepsilon}$.
On conclut en passant à la trace vu $\mathcal P_{e\rightarrow \varepsilon}\in O_n(\mathbb R)$.
Je trouve cette preuve difficile pour un résultat qui, je crois, admet une preuve plus simple ou naturelle (en plus j'utilise un résultat hors programme sur les changements de base des formes bilinéaires). Qu'en pensez-vous ?