Exos d'oraux MPSI

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Message par ayolepro » 28 juin 2021 13:23

Bonjour,
P=X^(n+1)-aX^n+aX-1 avec a dans [-1,1]
Montrer que les zéros de P sont des complexes de module 1.
Pour P j'ai factorisé le polynôme par X-1, et j'ai trouvé P=(X-1)(X^n+1+(1-a)(X+X^2+..+X^(n-1))) et je suis bloqué ici.

Avez vous une indication ?

De même pour trouver n dans N tq Nn=100^0+100^1+....+100^n soit premier
Merci d'avance

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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par JeanN » 28 juin 2021 17:29

Je n'ai pas trouvé de tête (ni en 10 minutes avec un papier).
D'où viennent ces deux exos ? BEOS ?
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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par ayolepro » 28 juin 2021 17:42

JeanN a écrit :
28 juin 2021 17:29
Je n'ai pas trouvé de tête (ni en 10 minutes avec un papier).
D'où viennent ces deux exos ? BEOS ?
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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par Salimovich » 28 juin 2021 18:17

Pour le second exercice : 101 est premier et c'est le seul (Indication : Si $ N_n $ est premier on montre que n+1 est aussi premier. En particulier si n est différent de 1, n+1 est impair et l'expression de $ N_n $ comme somme de termes d'une suite géométrique permet de construire explicitement 2 facteurs)
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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par ayolepro » 28 juin 2021 21:13

Salimovich a écrit :
28 juin 2021 18:17
Pour le second exercice : 101 est premier et c'est le seul (Indication : Si $ N_n $ est premier on montre que n+1 est aussi premier. En particulier si n est différent de 1, n+1 est impair et l'expression de $ N_n $ comme somme de termes d'une suite géométrique permet de construire explicitement 2 facteurs)
J'ai démontré que n+1 est forcément premier mais en quoi je peux factoriser
(10^(2k+1)-1)/99

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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par Salimovich » 28 juin 2021 21:25

ayolepro a écrit :
28 juin 2021 21:13
Salimovich a écrit :
28 juin 2021 18:17
Pour le second exercice : 101 est premier et c'est le seul (Indication : Si $ N_n $ est premier on montre que n+1 est aussi premier. En particulier si n est différent de 1, n+1 est impair et l'expression de $ N_n $ comme somme de termes d'une suite géométrique permet de construire explicitement 2 facteurs)
J'ai démontré que n+1 est forcément premier mais en quoi je peux factoriser
(10^(2k+1)-1)/99
C'est $ \frac{100^{2k+1}-1}{99} $ tu veux dire, et $ 100=10^2 $
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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par jandri » 28 juin 2021 21:48

Pour le premier exercice dans le cas où $ a\in]-1,1[ $ il n'est pas difficile de montrer que $ |az-1|>|z-a|\Leftrightarrow |z|<1 $.

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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par ayolepro » 28 juin 2021 22:01

Oui je me suis trompé Salimovich

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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par JeanN » 28 juin 2021 22:46

jandri a écrit :
28 juin 2021 21:48
Pour le premier exercice dans le cas où $ a\in]-1,1[ $ il n'est pas difficile de montrer que $ |az-1|>|z-a|\Leftrightarrow |z|<1 $.
Apparemment (d'après Maple), les polynômes (quasi palindromiques) de la forme $X^k-\lambda X^{k-1} +\lambda X-1$ avec $\lambda$ réel ont toutes leurs racines complexes non réelles de module 1.
Mais je ne vois pas encore comment le démontrer.

Pour répondre au problème posé, il ne reste plus qu'à étudier la fonction de la variable réelle proposée et d'ailleurs, on peut optimiser un peu le résultat (par exemple, si $n$ est impair, on peut prendre $a$ entre $\pm \frac{n+1}{n-1}$ pour conclure).
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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par Mourien » 28 juin 2021 23:03

$ z $ racine de $P$ $\iff$ $\dfrac 1z$ racine de $P$ non ? ($0$ n'étant jamais racine)


edit : en effet comme le remarque Jean, l'hypothèse pertinente est ici que $P=-P^*$ où le polynôme étoilé désigne le polynôme réciproque (si $P=\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k X^k$ alors $P^*:=\displaystyle \sum_{k=0}^n a_{n-k}X^k$, avec $a_0$ et $a_n$ $\neq 0$ pour ne pas être ennuyé )

Un tel polynôme a toujours ses racines de module $1$.
Dernière modification par Mourien le 28 juin 2021 23:15, modifié 2 fois.
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