Exos d'oraux MPSI
Exos d'oraux MPSI
Bonjour,
P=X^(n+1)-aX^n+aX-1 avec a dans [-1,1]
Montrer que les zéros de P sont des complexes de module 1.
Pour P j'ai factorisé le polynôme par X-1, et j'ai trouvé P=(X-1)(X^n+1+(1-a)(X+X^2+..+X^(n-1))) et je suis bloqué ici.
Avez vous une indication ?
De même pour trouver n dans N tq Nn=100^0+100^1+....+100^n soit premier
Merci d'avance
P=X^(n+1)-aX^n+aX-1 avec a dans [-1,1]
Montrer que les zéros de P sont des complexes de module 1.
Pour P j'ai factorisé le polynôme par X-1, et j'ai trouvé P=(X-1)(X^n+1+(1-a)(X+X^2+..+X^(n-1))) et je suis bloqué ici.
Avez vous une indication ?
De même pour trouver n dans N tq Nn=100^0+100^1+....+100^n soit premier
Merci d'avance
Re: Exos d'oraux MPSI
Je n'ai pas trouvé de tête (ni en 10 minutes avec un papier).
D'où viennent ces deux exos ? BEOS ?
D'où viennent ces deux exos ? BEOS ?
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exos d'oraux MPSI
Pour le second exercice : 101 est premier et c'est le seul (Indication : Si $ N_n $ est premier on montre que n+1 est aussi premier. En particulier si n est différent de 1, n+1 est impair et l'expression de $ N_n $ comme somme de termes d'une suite géométrique permet de construire explicitement 2 facteurs)
MPSI2-MP*2 SL
Re: Exos d'oraux MPSI
J'ai démontré que n+1 est forcément premier mais en quoi je peux factoriserSalimovich a écrit : ↑28 juin 2021 18:17Pour le second exercice : 101 est premier et c'est le seul (Indication : Si $ N_n $ est premier on montre que n+1 est aussi premier. En particulier si n est différent de 1, n+1 est impair et l'expression de $ N_n $ comme somme de termes d'une suite géométrique permet de construire explicitement 2 facteurs)
(10^(2k+1)-1)/99
Re: Exos d'oraux MPSI
C'est $ \frac{100^{2k+1}-1}{99} $ tu veux dire, et $ 100=10^2 $ayolepro a écrit : ↑28 juin 2021 21:13J'ai démontré que n+1 est forcément premier mais en quoi je peux factoriserSalimovich a écrit : ↑28 juin 2021 18:17Pour le second exercice : 101 est premier et c'est le seul (Indication : Si $ N_n $ est premier on montre que n+1 est aussi premier. En particulier si n est différent de 1, n+1 est impair et l'expression de $ N_n $ comme somme de termes d'une suite géométrique permet de construire explicitement 2 facteurs)
(10^(2k+1)-1)/99
MPSI2-MP*2 SL
Re: Exos d'oraux MPSI
Pour le premier exercice dans le cas où $ a\in]-1,1[ $ il n'est pas difficile de montrer que $ |az-1|>|z-a|\Leftrightarrow |z|<1 $.
Re: Exos d'oraux MPSI
Oui je me suis trompé Salimovich
Re: Exos d'oraux MPSI
Apparemment (d'après Maple), les polynômes (quasi palindromiques) de la forme $X^k-\lambda X^{k-1} +\lambda X-1$ avec $\lambda$ réel ont toutes leurs racines complexes non réelles de module 1.
Mais je ne vois pas encore comment le démontrer.
Pour répondre au problème posé, il ne reste plus qu'à étudier la fonction de la variable réelle proposée et d'ailleurs, on peut optimiser un peu le résultat (par exemple, si $n$ est impair, on peut prendre $a$ entre $\pm \frac{n+1}{n-1}$ pour conclure).
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exos d'oraux MPSI
$ z $ racine de $P$ $\iff$ $\dfrac 1z$ racine de $P$ non ? ($0$ n'étant jamais racine)
edit : en effet comme le remarque Jean, l'hypothèse pertinente est ici que $P=-P^*$ où le polynôme étoilé désigne le polynôme réciproque (si $P=\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k X^k$ alors $P^*:=\displaystyle \sum_{k=0}^n a_{n-k}X^k$, avec $a_0$ et $a_n$ $\neq 0$ pour ne pas être ennuyé )
Un tel polynôme a toujours ses racines de module $1$.
edit : en effet comme le remarque Jean, l'hypothèse pertinente est ici que $P=-P^*$ où le polynôme étoilé désigne le polynôme réciproque (si $P=\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k X^k$ alors $P^*:=\displaystyle \sum_{k=0}^n a_{n-k}X^k$, avec $a_0$ et $a_n$ $\neq 0$ pour ne pas être ennuyé )
Un tel polynôme a toujours ses racines de module $1$.
Dernière modification par Mourien le 28 juin 2021 23:15, modifié 2 fois.
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon