Exos d'oraux MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par JeanN » 28 juin 2021 23:07

oui, c'est vrai. Après, qu'en faire ?
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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par Mourien » 28 juin 2021 23:14

Oups, l'inverse est involutive :oops:

Dans ma tête il y avait tous les inverses itérés de $ z $ qui étaient racine, mais le problème c'est qu'il n'y en a qu'au plus $2$...
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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par Mourien » 29 juin 2021 00:24

jandri a écrit :
28 juin 2021 21:48
Pour le premier exercice dans le cas où $ a\in]-1,1[ $ il n'est pas difficile de montrer que $ |az-1|>|z-a|\Leftrightarrow |z|<1 $.
Avec ton idée, ça me semble marcher pour $-1<a<1$ :
SPOILER:
Après avoir établi cette équivalence (je n'ai pas mieux que de repasser par partie réelle et imaginaire), on écrit pour $z$ racine de $P$ de module $>1$ (quitte à se ramener à son inverse) :
$z^n(z-a)=1-az$ donc $|z-a|<|1-az|$ en passant au module puis $|z|<1$ et contradiction.

Pour $a=\pm 1$, ça me semble violent mais je crois que l'on peut utiliser un argument de continuité des racines complexes en fonction des coefficients :
SPOILER:
Soit $a_k\rightarrow a$ avec $\forall k: -1<a_k<1$. Alors $P\leftarrow P_k:=X^{n+1}-a_kX^n+a_kX-1$.

Soit $z$ racine de $P$ : par évaluation en $z$, on a $P_k(z)\rightarrow P(z)=0$.
Or $|P_k(z)|\ge d(z,Z(P_k))^{n+1}$ en utilisant le théorème de d'Alembert-Gauss.

Enfin, on a $d(z,\mathbb U)\le d(z,Z(P_k))\rightarrow 0$ (vu $Z(P_k)\subset \mathbb U$ en utilisant l'étude précédente)

Vu $\mathbb U$ fermé, on a $z\in \mathbb U$.
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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par jandri » 29 juin 2021 14:59

Le cas $ a=\pm1 $ est le plus simple puisqu'on peut factoriser le polynôme sous la forme $ P_n=(X-a)(X^n+a) $

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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par oty20 » 30 juin 2021 19:21

jandri a écrit :
28 juin 2021 21:48
Pour le premier exercice dans le cas où $ a\in]-1,1[ $ il n'est pas difficile de montrer que $ |az-1|>|z-a|\Leftrightarrow |z|<1 $.
Ce lemme est très utile, a-t-il une interprétation géométrique ?
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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par jandri » 30 juin 2021 23:08

En géométrie on montre que pour $ 0<a<1 $ l'ensemble des points M tels que $ \dfrac{AM}{BM}=a $ est un cercle dont un diamètre est le segment d'extrémités les deux points de la droite (AB) vérifiant l'égalité (cercle d'Apollonius).
Le point A étant à l'intérieur du cercle, la condition $ \dfrac{AM}{BM}<a $ est équivalente à "M est à l'intérieur du cercle".

Ici M, A et B ont pour affixes z, a et 1/a et le cercle est le cercle unité.
On a la même chose pour $ -1<a<0 $ avec $ \dfrac{AM}{BM}=|a| $

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Re: Exos d'oraux MPSI

Message par oty20 » 30 juin 2021 23:58

Jolie! Merci
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