famille liée

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famille liée

Message par sayouf104 » 07 sept. 2021 15:03

Bonjour
si A est une famille libre d'un ev E
est ce qu'on a (A,b) est lié ( b un vecteur non nul de E)
ca apparait évident mais juste pour s'assurer
Merci d'avance

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Re: famille liée

Message par sayouf104 » 07 sept. 2021 16:25

.

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Re: famille liée

Message par lamdba » 07 sept. 2021 16:35

Non pas forcément. (A,b) serait liée dans le cas où A est une base de E.

Exemple : E=R^3
(1,0,0) et (0,1,0) forment une famille libre, et si on ajoute le vecteur (0,0,1) la nouvelle famille sera toujours libre (et sera même la base canonique de E)
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Re: famille liée

Message par sayouf104 » 07 sept. 2021 18:18

D'après ce que j'ai compris il faut que ce b ne soit pas un vecteur de A et non nul ?

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Re: famille liée

Message par Tamador195 » 08 sept. 2021 21:20

il suffit (et il faut) que b ne soit pas un vecteur de Vect(A) et qu’il soit non nul


Je t’invite à essayer de le prouver
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Re: famille liée

Message par sayouf104 » 08 sept. 2021 22:06

si b est un vecteur de A
alors il existe un vecteur de A (noté p) tel que p = b
or d'apres la définition d'une famille libre , ils existent des nombres de IK tel que le coefficient associé au vecteur p sera (1-e) avec e le coefficient du vecteur p dans la définition de la famille libre A ,donc (A,b) est libre
si b n'est pas un vecteur de A , on a A liée ,(il y a l'équivalence dans ma démostration)

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Re: famille liée

Message par Tamador195 » 09 sept. 2021 00:42

tu n’as pas démontré ce que je t’ai proposé de faire. Prends b dans Vect(A) et pas dans A Le sens direct de ce qe que tu as prouvé est quasi-immédiat (sans intérêt). Ton sens réciproque est faux sinon
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Re: famille liée

Message par sayouf104 » 09 sept. 2021 20:31

soit b un vecteur de Vect(A)
soit e(i) ( 1=< i =< card (A)
donc il existent (p1,p2.......,pn) appartenant à IK^n tel que b = la somme de 1 à n des pi*e(i) (notée S)
1 si b est non nul alors
S-b = 0
si (A,b) était libre on obtient (-1 = 0 ) ce qui est absurde
2 si b = est nul alors il est claire que (A,b) est libre


c'est ca la preuve ?
Merci quand meme

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Re: famille liée

Message par JeanN » 11 sept. 2021 18:37

"2 si b = est nul alors il est claire que (A,b) est libre "

Je n'ai pas compris cette phrase
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève

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