Exercice analyse

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Exercice analyse

Message par Beugniet » 12 sept. 2021 17:30

Justifier qu'on a 0< k-kcos(1/k)<=1 poiur tout k appartenant à IN* ; montrer ensuite que pour tout n appartenant à IN*, la série (k-kcos(1/k))**(1+1/n) est convergente ; puis déterminer la limite de somme de k=1 à l'infini de (k-kcos(1/k))**(1+1/n) quand n tend vers l'infini.

Pour l'inégalité j'ai réussi à montrer qu'on a 0< k-kcos(1/k) mais pour l'autre inégalité je n'ai pas réussi. Quelqu'un peut-il m'aider ?

Pour montrer que la serie était convergente, j'ai utilisé l'inégalité, j'ai tout mis à la puissance (1+1/n). Et j'ai utilisé le critère de comparaison des séries à termes positifs. En sachant que la série des 1 converge donc la série des (k-kcos(1/k)) aussi. Est ce que j'ai bon ou pas ?

Puis pour déterminer la limite de la somme, j'ai voulu aussi utilisé l'inégalité pour utiliser le théorème des gendarmes mais j'obtiens que :
0< lim n tend vers l'infini de somme de k=1 à l'infini de (k-kcos(1/k)) <= lim n tend vers l'infini de la somme de k=1 à l'infini de 1 (c'est à dire l'infini).
Cela me contrarie car la limite à gauche de l'inégalité et celle de droite doit être égale. Or ici elle ne l'est pas. Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance à tous ceux qui essaieraient de m'aider. Cordialement.

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Re: Exercice analyse

Message par JeanN » 12 sept. 2021 18:22

Pour le premier point : étude de fonction.
Pour le deuxième point, la série de TG 1 n'est pas convergente (pourquoi ?)
Essaye plutôt de trouver un équivalent simple du terme général
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Re: Exercice analyse

Message par Beugniet » 14 sept. 2021 20:56

Bonsoir, pour le premier point j'ai réussi. J'ai trouvé comme équivalent (1/2k)**(n+1/n). Est ce cela ?
Merci d'avance.

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Re: Exercice analyse

Message par JeanN » 15 sept. 2021 18:09

Beugniet a écrit :
14 sept. 2021 20:56
Bonsoir, pour le premier point j'ai réussi. J'ai trouvé comme équivalent (1/2k)**(n+1/n). Est ce cela ?
Merci d'avance.
oui
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