multiplicité d'une racine
multiplicité d'une racine
P est annulateur d'une matrice A
alors Sp(A) est inclus dans les racines de P (notés xi)
est ce qu'on a le droit d'écrire le polynome caractéristique de A comme le produit de (X-xi)^multiplicité de xi ?
Ca semble logique mais juste pour s'assurer
Merci et Bonne nuit
alors Sp(A) est inclus dans les racines de P (notés xi)
est ce qu'on a le droit d'écrire le polynome caractéristique de A comme le produit de (X-xi)^multiplicité de xi ?
Ca semble logique mais juste pour s'assurer
Merci et Bonne nuit
Re: multiplicité d'une racine
Ta question n'est pas très claire.
Ce que tu énonces est probablement faux ailleurs que dans C en général.
Ce que tu énonces est probablement faux ailleurs que dans C en général.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: multiplicité d'une racine
Pour fixer les idées suggérées par JeanN, autant exhiber un contre exemple:
$$
A \in M_2(\mathbb{R}) \\
A= \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
\text{On a donc } P(X)= (X-2)(X^2+1)\text{ comme polynôme annulateur}
$$
Le facteur $ X-2 $ étant là uniquement pour décorer
$$
A \in M_2(\mathbb{R}) \\
A= \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
\text{On a donc } P(X)= (X-2)(X^2+1)\text{ comme polynôme annulateur}
$$
Le facteur $ X-2 $ étant là uniquement pour décorer
Re: multiplicité d'une racine
JohanB a écrit : ↑18 sept. 2021 17:24Pour fixer les idées suggérées par JeanN, autant exhiber un contre exemple:
$$
A \in M_2(\mathbb{R}) \\
A= \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
\text{On a donc } P(X)= (X-2)(X^2+1)\text{ comme polynôme annulateur}
$$
Le facteur $ X-2 $ étant là uniquement pour décorer
Oui dans ta matrice A , le polynome caractéristiquee = X^2 +1 ,donc je peux l'écrire (x-2)^0 * (x^2+1)
le but de ma question c'est de savoir si on a un polynome annulateur d'une marice A de Mn et on avait besoin d'utiliser le fait que la somme des multiplicités des valeurs propres est égale à n , dans le polynomme annulateur ce n'est pas possible puisqu'on connait la multiplicité des racines mais dans le polynome caractéristique on peut donner un 0 à une multiplicité si ce n'est pas une valeur propre
Re: multiplicité d'une racine
Aïe.la somme des multiplicités des valeurs propres est égale à n
Ceci n'est pas vrai pour un polynôme annulateur quelconque d'une matrice quelconque.
Ceci n'est pas vrai non plus pour le polynôme caractéristique d'une matrice quelconque.
En revanche,
Ceci est vrai pour le polynôme caractéristique d'une matrice trigonalisable, qui sera scindé - avec des facteurs de degré 1 uniquement.
Il existe des matrices de $ M_n(\mathbb{R}) $ qui ne sont pas trigonalisables. exemple ci-dessus
Re: multiplicité d'une racine
si la matrice est diagonalisable alors les espaces propres sont supplémentairesJohanB a écrit : ↑18 sept. 2021 18:20Aïe.la somme des multiplicités des valeurs propres est égale à n
Ceci n'est pas vrai pour un polynôme annulateur quelconque d'une matrice quelconque.
Ceci n'est pas vrai non plus pour le polynôme caractéristique d'une matrice quelconque.
En revanche,
Ceci est vrai pour le polynôme caractéristique d'une matrice trigonalisable, qui sera scindé - avec des facteurs de degré 1 uniquement.
Il existe des matrices de $ M_n(\mathbb{R}) $ qui ne sont pas trigonalisables. exemple ci-dessus
et donc la somme de leurs dimensions est égale à n (puisque multiplicité d'une vp = dim E(vp) ,donc ce que j'ai dit avant n'est pas général
juste pour fixer les idées cela est vrai que si le polynome annulateur est scindé dans R et donc vrai dans C ???
Grand Merci quand meme à vous tous