multiplicité d'une racine

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multiplicité d'une racine

Message par sayouf104 » 17 sept. 2021 23:21

P est annulateur d'une matrice A
alors Sp(A) est inclus dans les racines de P (notés xi)
est ce qu'on a le droit d'écrire le polynome caractéristique de A comme le produit de (X-xi)^multiplicité de xi ?
Ca semble logique mais juste pour s'assurer
Merci et Bonne nuit

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Re: multiplicité d'une racine

Message par JeanN » 18 sept. 2021 11:30

Ta question n'est pas très claire.
Ce que tu énonces est probablement faux ailleurs que dans C en général.
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Re: multiplicité d'une racine

Message par JohanB » 18 sept. 2021 17:24

Pour fixer les idées suggérées par JeanN, autant exhiber un contre exemple:
$$
A \in M_2(\mathbb{R}) \\

A= \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\

\text{On a donc } P(X)= (X-2)(X^2+1)\text{ comme polynôme annulateur}
$$
Le facteur $ X-2 $ étant là uniquement pour décorer :twisted:

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Re: multiplicité d'une racine

Message par sayouf104 » 18 sept. 2021 17:55

JohanB a écrit :
18 sept. 2021 17:24
Pour fixer les idées suggérées par JeanN, autant exhiber un contre exemple:
$$
A \in M_2(\mathbb{R}) \\

A= \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\

\text{On a donc } P(X)= (X-2)(X^2+1)\text{ comme polynôme annulateur}
$$
Le facteur $ X-2 $ étant là uniquement pour décorer :twisted:


Oui dans ta matrice A , le polynome caractéristiquee = X^2 +1 ,donc je peux l'écrire (x-2)^0 * (x^2+1)

le but de ma question c'est de savoir si on a un polynome annulateur d'une marice A de Mn et on avait besoin d'utiliser le fait que la somme des multiplicités des valeurs propres est égale à n , dans le polynomme annulateur ce n'est pas possible puisqu'on connait la multiplicité des racines mais dans le polynome caractéristique on peut donner un 0 à une multiplicité si ce n'est pas une valeur propre

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Re: multiplicité d'une racine

Message par JohanB » 18 sept. 2021 18:20

la somme des multiplicités des valeurs propres est égale à n
Aïe.
Ceci n'est pas vrai pour un polynôme annulateur quelconque d'une matrice quelconque.
Ceci n'est pas vrai non plus pour le polynôme caractéristique d'une matrice quelconque.

En revanche,
Ceci est vrai pour le polynôme caractéristique d'une matrice trigonalisable, qui sera scindé - avec des facteurs de degré 1 uniquement.

Il existe des matrices de $ M_n(\mathbb{R}) $ qui ne sont pas trigonalisables. exemple ci-dessus

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Re: multiplicité d'une racine

Message par sayouf104 » 18 sept. 2021 22:57

JohanB a écrit :
18 sept. 2021 18:20
la somme des multiplicités des valeurs propres est égale à n
Aïe.
Ceci n'est pas vrai pour un polynôme annulateur quelconque d'une matrice quelconque.
Ceci n'est pas vrai non plus pour le polynôme caractéristique d'une matrice quelconque.

En revanche,
Ceci est vrai pour le polynôme caractéristique d'une matrice trigonalisable, qui sera scindé - avec des facteurs de degré 1 uniquement.

Il existe des matrices de $ M_n(\mathbb{R}) $ qui ne sont pas trigonalisables. exemple ci-dessus
si la matrice est diagonalisable alors les espaces propres sont supplémentaires
et donc la somme de leurs dimensions est égale à n (puisque multiplicité d'une vp = dim E(vp) ,donc ce que j'ai dit avant n'est pas général

juste pour fixer les idées cela est vrai que si le polynome annulateur est scindé dans R et donc vrai dans C ???
Grand Merci quand meme à vous tous

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