Densité d'une ensemble dans ]0,1[

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Densité d'une ensemble dans ]0,1[

Message par sayouf104 » 30 sept. 2021 22:54

Bonsoir
j'ai une question , si on a deux fonctions f et g , tel que f=g sur l'ensemble E
et E est dense dans ]0,1[
les deux fonctions f et g sont continues sur ]0,1[
alors pourquoi on a l'égalité partout dans ]0,1[ ,et si on utilise pas l'argument de continuité ?
Merci d'avance :)

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Re: Densité d'une ensemble dans ]0,1[

Message par Tamador195 » 01 oct. 2021 11:10

prends un point quelconque de ]0,1[ et essaie de montrer que f(x)=g(x). (indice: caractérisation séquentielle).

Sans continuité c’est a priori faux. Si tu poses f qui vaut 1 sur les rationnels et 2 sur les irrationnels de ]0,1[

Et g qui vaut 1 sur les rationnels et 3 sur les irrationnels de ]0,1[
Ces fonctions coïncident sur Q qui est dense dans ]0,1[ mais ne sont bien évidemment pas égales sur tout l’ensemble.
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Re: Densité d'une ensemble dans ]0,1[

Message par autobox » 01 oct. 2021 11:56

Autre exercice très classique. En faisant éventuellement attention au cas f(1) = 0, quelles sont les fonctions continues de R dans R telles que f(n + m) = f(n) + f(m) pour tous entiers naturels n,m ?

Il y a aussi des variantes de ce truc pour les fonctions multiplicatives. On a aussi une variante qui permet de trouver un lien fort entre la propriété d'absence de mémoire et la loi exponentielle en probas

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Re: Densité d'une ensemble dans ]0,1[

Message par JeanN » 02 oct. 2021 00:18

sayouf104 a écrit :
30 sept. 2021 22:54
Bonsoir
j'ai une question , si on a deux fonctions f et g , tel que f=g sur l'ensemble E
et E est dense dans ]0,1[
les deux fonctions f et g sont continues sur ]0,1[
alors pourquoi on a l'égalité partout dans ]0,1[ ,et si on utilise pas l'argument de continuité ?
Merci d'avance :)
Tu veux dire "que se passe-t-il si on enlève l'hypothèse de continuité" ?
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève

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