Densité d'une ensemble dans ]0,1[
Densité d'une ensemble dans ]0,1[
Bonsoir
j'ai une question , si on a deux fonctions f et g , tel que f=g sur l'ensemble E
et E est dense dans ]0,1[
les deux fonctions f et g sont continues sur ]0,1[
alors pourquoi on a l'égalité partout dans ]0,1[ ,et si on utilise pas l'argument de continuité ?
Merci d'avance
j'ai une question , si on a deux fonctions f et g , tel que f=g sur l'ensemble E
et E est dense dans ]0,1[
les deux fonctions f et g sont continues sur ]0,1[
alors pourquoi on a l'égalité partout dans ]0,1[ ,et si on utilise pas l'argument de continuité ?
Merci d'avance
Re: Densité d'une ensemble dans ]0,1[
prends un point quelconque de ]0,1[ et essaie de montrer que f(x)=g(x). (indice: caractérisation séquentielle).
Sans continuité c’est a priori faux. Si tu poses f qui vaut 1 sur les rationnels et 2 sur les irrationnels de ]0,1[
Et g qui vaut 1 sur les rationnels et 3 sur les irrationnels de ]0,1[
Ces fonctions coïncident sur Q qui est dense dans ]0,1[ mais ne sont bien évidemment pas égales sur tout l’ensemble.
Sans continuité c’est a priori faux. Si tu poses f qui vaut 1 sur les rationnels et 2 sur les irrationnels de ]0,1[
Et g qui vaut 1 sur les rationnels et 3 sur les irrationnels de ]0,1[
Ces fonctions coïncident sur Q qui est dense dans ]0,1[ mais ne sont bien évidemment pas égales sur tout l’ensemble.
2019/2021: MPSI/MP*
2021-... : CentraleSupélec
2021-... : CentraleSupélec
Re: Densité d'une ensemble dans ]0,1[
Autre exercice très classique. En faisant éventuellement attention au cas f(1) = 0, quelles sont les fonctions continues de R dans R telles que f(n + m) = f(n) + f(m) pour tous entiers naturels n,m ?
Il y a aussi des variantes de ce truc pour les fonctions multiplicatives. On a aussi une variante qui permet de trouver un lien fort entre la propriété d'absence de mémoire et la loi exponentielle en probas
Il y a aussi des variantes de ce truc pour les fonctions multiplicatives. On a aussi une variante qui permet de trouver un lien fort entre la propriété d'absence de mémoire et la loi exponentielle en probas
Re: Densité d'une ensemble dans ]0,1[
Tu veux dire "que se passe-t-il si on enlève l'hypothèse de continuité" ?sayouf104 a écrit : ↑30 sept. 2021 22:54Bonsoir
j'ai une question , si on a deux fonctions f et g , tel que f=g sur l'ensemble E
et E est dense dans ]0,1[
les deux fonctions f et g sont continues sur ]0,1[
alors pourquoi on a l'égalité partout dans ]0,1[ ,et si on utilise pas l'argument de continuité ?
Merci d'avance
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève