Polynôme irréductible
Polynôme irréductible
Salut,
Je ne sais pas si c'est la fatigue mais je ne suis pas sûr de comprendre la définition 5 - 6 à la page 11 du lien suivant : http://www.mathom.fr/sites/default/file ... /chap5.pdf
Pourquoi cette définition entraîne qu'un polynôme irréductible n'est pas constant ?
Je ne sais pas si c'est la fatigue mais je ne suis pas sûr de comprendre la définition 5 - 6 à la page 11 du lien suivant : http://www.mathom.fr/sites/default/file ... /chap5.pdf
Pourquoi cette définition entraîne qu'un polynôme irréductible n'est pas constant ?
Re: Polynôme irréductible
Un polynôme constant, c'est un polynôme de degré strictement inférieur à 1. Son degré peut être 0 (constante non nulle) ou $ -\infty $ (le polynôme nul).
Prends P un polynôme constant. Suppose que P soit réductible. Il y a deux cas à traiter
Cas 1 : deg(P) = 0.
P est réductible, alors il existe Q et R deux polynômes de degrés strictement inférieur à 0 tels que P = QR. Ils sont donc nuls et P aussi. Contradition.
Cas 2 : P = 0
Il n'existe pas de polynôme de degré strictement inférieur à $ -\infty $, qui est pourtant le degré de P. Contradiction.
Par contraposée, P irréductible implique P non constant.
Prends P un polynôme constant. Suppose que P soit réductible. Il y a deux cas à traiter
Cas 1 : deg(P) = 0.
P est réductible, alors il existe Q et R deux polynômes de degrés strictement inférieur à 0 tels que P = QR. Ils sont donc nuls et P aussi. Contradition.
Cas 2 : P = 0
Il n'existe pas de polynôme de degré strictement inférieur à $ -\infty $, qui est pourtant le degré de P. Contradiction.
Par contraposée, P irréductible implique P non constant.
Re: Polynôme irréductible
Bonjour,
ça voudrait dire que la condition sur la "non constance" introduite ici :
https://www.bibmath.net/dico/index.php? ... tible.html
n'est pas nécessaire ?
ça voudrait dire que la condition sur la "non constance" introduite ici :
https://www.bibmath.net/dico/index.php? ... tible.html
n'est pas nécessaire ?
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63) ➠ EC Lille) и Дух мира (& esprit de 🕊)
Re: Polynôme irréductible
Bonjour,
La définition du site donné diffère de celle du premier polycopié. Si on omet le passage "s'il est non constant", la définition du site n'exclut pas que les polynômes irréductibles puissent être constants, au contraire de celle du premier polycopié comme montré par autobox. Ce n'est donc pas un ajout superflu.
La définition du site donné diffère de celle du premier polycopié. Si on omet le passage "s'il est non constant", la définition du site n'exclut pas que les polynômes irréductibles puissent être constants, au contraire de celle du premier polycopié comme montré par autobox. Ce n'est donc pas un ajout superflu.
Re: Polynôme irréductible
Mais alors ici la Définition 1.1. :
http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/ ... appels.pdf
serait incomplète ?
http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/ ... appels.pdf
serait incomplète ?
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Re: Polynôme irréductible
De mon point de vue, oui. Mais ce n'est peut-être pas celui de l'auteur du polycopié.
Re: Polynôme irréductible
Oui, elle est incomplète.H2Fooko a écrit : ↑08 oct. 2021 11:43Mais alors ici la Définition 1.1. :
http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/ ... appels.pdf
serait incomplète ?
Re: Polynôme irréductible
Ce qui me chagrine c'est que cette démo repose sur une convention / définition que le degré du polynôme nul est -∞.autobox a écrit : ↑07 oct. 2021 20:24Un polynôme constant, c'est un polynôme de degré strictement inférieur à 1. Son degré peut être 0 (constante non nulle) ou $ -\infty $ (le polynôme nul).
Prends P un polynôme constant. Suppose que P soit réductible. Il y a deux cas à traiter
Cas 1 : deg(P) = 0.
P est réductible, alors il existe Q et R deux polynômes de degrés strictement inférieur à 0 tels que P = QR. Ils sont donc nuls et P aussi. Contradition.
Cas 2 : P = 0
Il n'existe pas de polynôme de degré strictement inférieur à $ -\infty $, qui est pourtant le degré de P. Contradiction.
Par contraposée, P irréductible implique P non constant.
Il peut être aussi considéré comme indéfini :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A ... 3%B4me_nul
Il suffit que $ \forall n\>\in \mathbb{N}\qquad \forall i\in \left[ 0,n \right]\qquad a_{i}=0\qquad $ indépendamment du degré ?
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Re: Polynôme irréductible
Merci beaucoup c'est bon.
Re: Polynôme irréductible
H2Fooko a écrit : ↑08 oct. 2021 14:29Ce qui me chagrine c'est que cette démo repose sur une convention / définition que le degré du polynôme nul est -∞.autobox a écrit : ↑07 oct. 2021 20:24Un polynôme constant, c'est un polynôme de degré strictement inférieur à 1. Son degré peut être 0 (constante non nulle) ou $ -\infty $ (le polynôme nul).
Prends P un polynôme constant. Suppose que P soit réductible. Il y a deux cas à traiter
Cas 1 : deg(P) = 0.
P est réductible, alors il existe Q et R deux polynômes de degrés strictement inférieur à 0 tels que P = QR. Ils sont donc nuls et P aussi. Contradition.
Cas 2 : P = 0
Il n'existe pas de polynôme de degré strictement inférieur à $ -\infty $, qui est pourtant le degré de P. Contradiction.
Par contraposée, P irréductible implique P non constant.
Il peut être aussi considéré comme indéfini :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A ... 3%B4me_nul
Il suffit que $ \forall n\>\in \mathbb{N}\qquad \forall i\in \left[ 0,n \right]\qquad a_{i}=0\qquad $ indépendamment du degré ?
La définition du pdf étant basée sur la notion de degré, il risque d'être difficile de produire une démonstration qui ne l'utilise pas indirectement
Maintenant, si tu es vraiment allergique aux degrés et valuations infinis et que pour toi le polynôme nul est de degré zéro, alors il n'y a pas de problème et ma petite preuve n'a plus qu'un seul cas, qui a le nom du cas 1 et le contenu du cas 2. En effet,, il n'existe plus de polynôme de degré strictement inférieur à zéro qui est celui des polynômes constants ; donc aucun polynôme constant ne peut être divisible par un tel poplynôme et donc, ne peut être irréductible.
Et si vraiment tu peux pas sacquer le degré de zéro, alors il va falloir changer toutes les définitions et les propositions pour discuter selon que le polynôme est nul ou non