Polynôme irréductible

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 0

Inscription : 07 oct. 2021 15:58

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Polynôme irréductible

Message par Svetmaths » 07 oct. 2021 16:03

Salut,

Je ne sais pas si c'est la fatigue mais je ne suis pas sûr de comprendre la définition 5 - 6 à la page 11 du lien suivant : http://www.mathom.fr/sites/default/file ... /chap5.pdf

Pourquoi cette définition entraîne qu'un polynôme irréductible n'est pas constant ?

Messages : 4

Inscription : 13 oct. 2019 16:35

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Polynôme irréductible

Message par autobox » 07 oct. 2021 20:24

Un polynôme constant, c'est un polynôme de degré strictement inférieur à 1. Son degré peut être 0 (constante non nulle) ou $ -\infty $ (le polynôme nul).

Prends P un polynôme constant. Suppose que P soit réductible. Il y a deux cas à traiter

Cas 1 : deg(P) = 0.
P est réductible, alors il existe Q et R deux polynômes de degrés strictement inférieur à 0 tels que P = QR. Ils sont donc nuls et P aussi. Contradition.

Cas 2 : P = 0
Il n'existe pas de polynôme de degré strictement inférieur à $ -\infty $, qui est pourtant le degré de P. Contradiction.

Par contraposée, P irréductible implique P non constant.

Messages : 776

Inscription : 01 juin 2020 16:26

Profil de l'utilisateur : Parent

Re: Polynôme irréductible

Message par H2Fooko » 08 oct. 2021 09:24

Bonjour,
ça voudrait dire que la condition sur la "non constance" introduite ici :
https://www.bibmath.net/dico/index.php? ... tible.html
n'est pas nécessaire ?
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63)EC Lille) и Дух мира :flag_ua: (& esprit de 🕊)

Inversion

Re: Polynôme irréductible

Message par Inversion » 08 oct. 2021 10:43

Bonjour,

La définition du site donné diffère de celle du premier polycopié. Si on omet le passage "s'il est non constant", la définition du site n'exclut pas que les polynômes irréductibles puissent être constants, au contraire de celle du premier polycopié comme montré par autobox. Ce n'est donc pas un ajout superflu.

Messages : 776

Inscription : 01 juin 2020 16:26

Profil de l'utilisateur : Parent

Re: Polynôme irréductible

Message par H2Fooko » 08 oct. 2021 11:43

Mais alors ici la Définition 1.1. :
http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/ ... appels.pdf
serait incomplète ?
😋
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63)EC Lille) и Дух мира :flag_ua: (& esprit de 🕊)

Inversion

Re: Polynôme irréductible

Message par Inversion » 08 oct. 2021 13:41

De mon point de vue, oui. Mais ce n'est peut-être pas celui de l'auteur du polycopié.

Messages : 187

Inscription : 09 août 2018 20:57

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Polynôme irréductible

Message par GrosGillouDu92 » 08 oct. 2021 13:46

H2Fooko a écrit :
08 oct. 2021 11:43
Mais alors ici la Définition 1.1. :
http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/ ... appels.pdf
serait incomplète ?
😋
Oui, elle est incomplète.

Messages : 776

Inscription : 01 juin 2020 16:26

Profil de l'utilisateur : Parent

Re: Polynôme irréductible

Message par H2Fooko » 08 oct. 2021 14:29

autobox a écrit :
07 oct. 2021 20:24
Un polynôme constant, c'est un polynôme de degré strictement inférieur à 1. Son degré peut être 0 (constante non nulle) ou $ -\infty $ (le polynôme nul).

Prends P un polynôme constant. Suppose que P soit réductible. Il y a deux cas à traiter

Cas 1 : deg(P) = 0.
P est réductible, alors il existe Q et R deux polynômes de degrés strictement inférieur à 0 tels que P = QR. Ils sont donc nuls et P aussi. Contradition.

Cas 2 : P = 0
Il n'existe pas de polynôme de degré strictement inférieur à $ -\infty $, qui est pourtant le degré de P. Contradiction.

Par contraposée, P irréductible implique P non constant.
Ce qui me chagrine c'est que cette démo repose sur une convention / définition que le degré du polynôme nul est -∞.
Il peut être aussi considéré comme indéfini :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A ... 3%B4me_nul
Il suffit que $ \forall n\>\in \mathbb{N}\qquad \forall i\in \left[ 0,n \right]\qquad a_{i}=0\qquad $ indépendamment du degré ?
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63)EC Lille) и Дух мира :flag_ua: (& esprit de 🕊)

Messages : 0

Inscription : 07 oct. 2021 15:58

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Polynôme irréductible

Message par Svetmaths » 08 oct. 2021 15:52

Merci beaucoup c'est bon.

Messages : 4

Inscription : 13 oct. 2019 16:35

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Polynôme irréductible

Message par autobox » 08 oct. 2021 18:02

H2Fooko a écrit :
08 oct. 2021 14:29
autobox a écrit :
07 oct. 2021 20:24
Un polynôme constant, c'est un polynôme de degré strictement inférieur à 1. Son degré peut être 0 (constante non nulle) ou $ -\infty $ (le polynôme nul).

Prends P un polynôme constant. Suppose que P soit réductible. Il y a deux cas à traiter

Cas 1 : deg(P) = 0.
P est réductible, alors il existe Q et R deux polynômes de degrés strictement inférieur à 0 tels que P = QR. Ils sont donc nuls et P aussi. Contradition.

Cas 2 : P = 0
Il n'existe pas de polynôme de degré strictement inférieur à $ -\infty $, qui est pourtant le degré de P. Contradiction.

Par contraposée, P irréductible implique P non constant.
Ce qui me chagrine c'est que cette démo repose sur une convention / définition que le degré du polynôme nul est -∞.
Il peut être aussi considéré comme indéfini :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A ... 3%B4me_nul
Il suffit que $ \forall n\>\in \mathbb{N}\qquad \forall i\in \left[ 0,n \right]\qquad a_{i}=0\qquad $ indépendamment du degré ?

La définition du pdf étant basée sur la notion de degré, il risque d'être difficile de produire une démonstration qui ne l'utilise pas indirectement :mrgreen:
Maintenant, si tu es vraiment allergique aux degrés et valuations infinis et que pour toi le polynôme nul est de degré zéro, alors il n'y a pas de problème et ma petite preuve n'a plus qu'un seul cas, qui a le nom du cas 1 et le contenu du cas 2. En effet,, il n'existe plus de polynôme de degré strictement inférieur à zéro qui est celui des polynômes constants ; donc aucun polynôme constant ne peut être divisible par un tel poplynôme et donc, ne peut être irréductible.

Et si vraiment tu peux pas sacquer le degré de zéro, alors il va falloir changer toutes les définitions et les propositions pour discuter selon que le polynôme est nul ou non

Répondre