Polynôme irréductible

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Re: Polynôme irréductible

Message par H2Fooko » 08 oct. 2021 23:04

Merci autobox de ne pas m'avoir laissé me chagriner tout seul 😉
Cette convention sur le degré du polynôme nul permet d'étendre la définition du degré d'un polynôme au polynôme nul lui même.
Convention que Chafarevitch n'a pas adopté, malheur à lui car une convention est parfois bien commode.
En tout cas je ne suis pas allergique à la discussion 😜
merci encore.
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Re: Polynôme irréductible

Message par Svetmaths » 09 oct. 2021 05:50

Personnellement mon cours prend la convention que le degré du polynôme nul est -infini.

J'ai une autre question car je crois avoir décelé une erreur avec mon cours de sup :

Est-ce que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
1) P n'est pas le produit de polynômes de degré strictement inférieur au sien.
2) P n'est pas inversible et tout diviseur de P est inversible ou associé à P.

Ne faut-il pas ajouter la condition P non nul dans 2) ?

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Re: Polynôme irréductible

Message par autobox » 09 oct. 2021 12:46

Ton équivalence est fausse dans un anneau (commutatif), même s'il est intègre non fini.

Par exemple dans Z[X] le polynôme constant égal à 4 n'est pas un produit de polynômes de degrés tous deux strictement inférieurs à celui de P(X) = 4, donc P vérifie le 1).
Pourtant, (P est non inversible et) les diviseurs de P sont 1, -1, 2, -2, 4 et -4. Le polynôme 2 est non inversible et non associé à P. P ne vérifie pas 2).

Le vrai problème, c'est que 1) => 2) est fausse même dans un corps.
Tu prends n'importe quel polynôme inversible. Il vérifie trivialement 1) puisque c'est une constante non nulle. Pourtant il ne peut vérifier 2) puisque 2) demande que P soit non inversible.

Aussi, on aura des problèmes et beaucoup de cas à traiter séparément si on continue à travailler dans un anneau commutatif, alors on va dire que K est un corps dans la suite.

Pour commencer, tu peux dire :
Soit P un polynôme non inversible non nul. Alors
1) P n'est pas le produit de polynômes de degrés strictement inférieurs au sien
2) Tout diviseur de P est soit inversible soit associé à P
sont équivalents.

Preuve :
On commence par remarquer que P n'est pas une constante puisque P non inversible et non nul alors que 0 est la seule constante non inversible dans un corps. P est donc de degré au moins 1.

On suppose que P n'est pas le produit de (deux) polynômes de degrés strictement inférieurs au sien.
Soit Q un diviseur de P. Il existe B un polynôme non nul tq P = BQ et on a deg(P) = deg(B)+deg(Q).
Par hypothèse on n'a pas deg(B) < deg(P) et deg(Q)<deg(P) simultanément. Si deg(Q) = deg(P) alors B est de degré <= 0 et c'est une constante, non nulle puisque P est non nul, donc B est inversible, et donc Q est associé à P. Si deg(B) = deg(P), symétriquement, c'est Q qui est une constante non nulle, et donc Q est inversible. D'où le 2)

Réciproquement, on suppose 2) et par l'absurde, que P soit un produit de deux polynômes de degré strictement inférieur à deg(P).
Aucun des deux polynpomes ne pouvant être associé à P (en raison de son degré) ils sont tous les deux inversibles, et P aussi. Absurde.

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Ensuite la question de la nullité. Est-ce que ce qui précède est vrai quand P est nul ?
1) est une tautologie dans ce cas
Par contre l'ensemble des diviseurs de 0 est K[X]. Il existe des polynômes non nuls (i.e non associés à 0) et non inversibles car K[X] n'est pas un corps donc 2) est fausse et pas équivalente à 1)

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