théorème du rang, inégalités, projecteurs

[florian-LR]

Bonjour,

Je voulais vous demander de l'aide pour les exercices suivants:

1/
Soit deux endomorphismes de E R-ev de dimension n.

a) Montrer que rg(f+g) 0 ??
Dites moi si je me trompe de méthode ou s'il ya autre chose a faire?


2/
Soit E un K-ev de dimension 2 de base (e1,e2). Soit f un endomorphisme de E défini par : f(e1)=e2 et f(e2)=e1.
a) Montrer que f est bijective.
b) En déduire que Kerf et Imf sont supplémentaires dans E.
c) f est-elle un projecteur?

J'ai fait le a), b) mais je prefere vous demander...
Pour la bijectivité, il suffit ici de faire appel au theoreme suivant :
si {e1,...,en} est une base de E, et {f(e1),...,(fen)} est une base de f(E) alors f est bijective.
Pour le b); on utilise le theoreme du rang :
dimE = dim Kerf + dim Im f
il reste a prouver que Kerf n Imf = {0}
ce qui se fait assez facilement en prenant y dans Kerf n Imf et en montrant que y=0 (l'inclusion reciproque etant triviale).

Voila, si mes explications manquent de rigueur, n'hesitez pas s'il vous plait.
Maintenant le probleme : je bloque sur le c)...


Merci d'avance.

[raorg]

ben pour le c.. tu regardes si c'est idempotent ou pas, ça devrait pas être très dur ^^

[Ashen Shugar]

pour le a, je traduirais ca en inclusion d'espaces, et tu devrais avoir l'inégalité voulue. Ou alors tu fais ca( ie trouve une inégalite) avec les noyaux, tu utilises le théorème du rang pour avoir l'inverse avec les images. Tu prends un élément de l'un et tu montres qu'il appartient à l'autre.

pour le c., tu montres que f est le projecteur sur Im(f) parallèllement à Ker(f)
"astuce" : x = f(x) + (x-f(x))
c'est une démo de cours de sup

[MooMooB]

Pour la b) $ g \circ f =0 \Leftrightarrow Im f \subset Ker g $

[raorg]

non mais là, f est clairement pas un projecteur...

[JBen]

Non, non pour le c, c'est bien l'idempotence qu'il faut confirmer ou infirmer.

Nota : $ f $ est idempotente si $ f^2=f $

Edit, je precise que le non non s'appliquait a la deuxieme reponse... J'ai été doublé...
Et en effet clairement ce n'est pas un projecteur...

[MooMooB]

non mais là, f est clairement pas un projecteur...

Je rajouterais: f est une symétrie (f o f = Id sur une base).

[Philippe PATTE]

1/
Soit deux endomorphismes de E R-ev de dimension n.

a) Montrer que rg(f+g) <= rg(f) + rg(g)

b) On suppose que f +g est bijective et gof = 0, montrez
que rg(f) et rg(g) =n (montrez une double inégalité).

C'est très pénible ! Quand on demande l'aide, la première chose est de donner un énoncé exact !

Pour la question a), je suppose qu'il faut appliquer le theoreme du rang

Ensuite, avoir cherché une solution ! Le thm du rang, c'est bien, mais ce n'est pas la panacée. Quelle(s) autre(s) méthode(s) as-tu regardée(s) ?

2/
Soit E un K-ev de dimension 2 de base (e1,e2). Soit f un endomorphisme de E défini par : f(e1)=e2 et f(e2)=e1.
a) Montrer que f est bijective.
b) En déduire que Kerf et Imf sont supplémentaires dans E.

Que vaut ker f ? im f ?

c) f est-elle un projecteur?

Il y a de nombreux projecteurs bijectifs ?

[JBen]

si {e1,...,en} est la base de E, et {f(e1),...,(fen)} est la base de f(E) alors f est bijective.

Un theorème dit ca ? Bon bien j'ai du rater un truc en Sup.
Alors tout d'abort petite precision :
LA base d'une E.V. ? Un E.V.D.F. (dim finie) admet une infinité de bases!!! On parle donc d'une base.

Je mettrai plus le theoreme sous cette forme :

Si une A.L. de E dans F (E, et F, des E.V.D.F.) transforme une base de E en une base de F, alors c'est un isomorphisme

Mais je ne vois pas l'utilité de faire un theoreme pour un truc du genre, le fait que ca transforme en une base donne le rang qui par une application très habituelle du theoreme du rang nous permet de conclure que cette A.L. est un isomorphisme.

Il y a de nombreux projecteurs bijectifs ?

Euh...$ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}n^n}{e^n n!} $

[Philippe PATTE]

Je mettrai plus le theoreme sous cette forme :

Si une A.L. de E dans F (E, et F, des E.V.D.F.) transforme une base de E en une base de F, alors c'est un isomorphisme

Mais je ne vois pas l'utilité de faire un theoreme pour un truc du genre ...

Très en colère à cause de l'énoncé incorrect, je n'avais pas repéré les articles définis !
L'avantage de ce résultat sur l'utilisation du théorème du rang est qu'il est utilisable sans hypothèse de dimension et de preuve triviale.