Je peux te dire comment j'ai fait pour mon TIPE de maths à l'ENS. C'est sans doute pas la seule façon de faire, mais j'ai eu une bonne note donc j'imagine qu'on peut dire que cette approche fonctionne.
Pour fixer les idées, je vais vite fait résumer mon TIPE : Il s'agissait de déterminer le nombre minimum d'indices dans un problème de Sudoku de taille 4x4 bien construit, c'est à dire, en partant d'une grille complète de sudoku de taille 4x4 (le sudoku 9x9 rend les calculs beaucoup plus compliqué, le genre à te faire tourner un super calculateur pendant des mois), voir le nombre minimal de cases qu'il faut laisser remplies pour obtenir un problème ayant une unique solution.
Pour faire ça, je me suis inspiré de la démarche d'une équipe de chercheurs qui avait résolu le problème en 9x9 et je l'ai reproduite afin de le résoudre en 4x4. J'ai fait ça avec Maple, et ça impliquait aussi un peu de théorie des groupes (la formule de Burnside, en gros)
Il y a un nombre de pages conseillé dans le rapport, et il est assez petit, donc le rapport de TIPE que tu peux rendre se retrouve finalement assez court si tu respectes bien les consignes. Personnellement, j'avais dépassé d'une ou deux pages et j'avais rajouté deux ou trois pages de code Maple en annexes.
Globalement, dans mon dossier j'ai renseigné les théorèmes que j'utilisais et j'ai présenté la démarche que j'ai suivie. Je n'avais pas la place pour mettre les démonstrations.
Pour l'exposé, je suis arrivé sans rien, sinon une version imprimée de mon rapport. Les examinateurs m'ont demandé d'exposer, donc j'ai suivi le cours de mon rapport en expliquant la démarche et profitant d'être à l'oral pour détailler un peu plus. Ils m'ont demandé de faire au tableau quelques unes des démonstrations.
Ça a duré assez longtemps, j'ai d'ailleurs été surpris. Je pensais que dès le début, on allait m'entraîner en terrain nouveau en me posant des questions d'extension, pour voir si je m'en sortais sur des problèmes auxquels je n'avais pas réfléchi pendant l'année, mais ça n'est venu qu'à la fin, sur les 5 dernières minutes.
Je précise que je n'avais pas de transparents (je ne me rappelle pas si il y avait un rétro-projecteur, mais j'imagine que oui) et que j'ai rédigé les démonstrations directement au tableau
En gros, la question qui m'a été posée était celle de la complexité de mon calcul Maple. Je leur ai répondu que la part que j'avais programmée était polynomiale, et qu'il y avait une fonction de Maple que j'avais utilisée sans en connaître la complexité, donc on s'est ensuite concentré sur cette fonction (qui permet de générer un groupe de permutations à partir de ses générateurs) en proposant un algorithme possible et en majorant sa complexité.
Donc en gros, je te conseille de ne pas chercher à tout mettre dans ton rapport et de ne pas trop dépasser la taille demandée dans les consignes. Essaye plutôt de faire un rapport avec une progression logique et une bonne cohésion interne et qui soit agréable à lire.
Pour l'exposé, il n'est pas nécessaire d'amener des transparents, le plus important étant de bien avoir compris ce que tu as fait et d'être le plus possible au point sur les concepts mathématiques que tu utilises. Il vaut mieux éviter de prétendre maîtriser un aspect du problème en espérant que personne ne posera de questions dessus.
Et j'imagine qu'avoir l'air de prendre plaisir à faire des maths doit aider