Exo Laplace

Répondre

Messages : 91

Enregistré le : 07 sept. 2020 15:43

Exo Laplace

Message par jeveapgt » 23 juin 2021 12:55

Bonjour,

J'ai des difficultés avec la question 3 de cet exercice : https://www.cjoint.com/data/KFxkz7Ok2L3_laplace1.png

Pourriez-vous m'expliquer comment on met en équation le problème ?
Et ensuite, comment le résoudre par la "méthode de Laplace" ?

J'imagine qu'il y a des transformations de Laplace dans l'affaire, mais comment s'en sort-on après ?

Merci beaucoup par avance pour l'aide, j'en ai bien besoin........ :(

Messages : 384

Enregistré le : 01 juin 2020 16:26

Classe : Pater et Filius

Re: Exo Laplace

Message par H2Fooko » 25 juin 2021 07:30

Bonjour jeveapgt

Puisque tu es bloqué à la question 3, tu pourrais peut être nous dire comment tu as résolu les 2 premières questions.
En effet tu incites fortement les gens de bonne volonté à refaire les 2 premières.
A ce propos je ne connais pas F* (y, t) car je n'ai pas ton cours sous les yeux.
Je suppose que c'est la fonction de 2 variables qui donne la température en fonction de l'altitude au sol et du temps ?
Pourquoi s'appelle-t-elle F* et pas T (comme Température) ?
C'est par convention ? Laquelle ?

Bref, ça serait sympa de nous indiquer tes pistes pour la question 3, à quelles équations te font penser les mots "convectif" et "radiatif".

Un schéma avec des capacités et résistances thermiques permettrait peut être de poser les équations ?

Fais comme si tu étais au tableau, commences et les profs qui passent par là se feront un plaisir de t'aider.
отец (un notre père) сынок (& fils en PC 2021-22)

Messages : 384

Enregistré le : 01 juin 2020 16:26

Classe : Pater et Filius

Re: Exo Laplace

Message par H2Fooko » 26 juin 2021 20:38

Le www m'a permis de retrouver la fonction mystère F* (y,t) de la première question qui n'était pas définie dans l'énoncé :
$$ F^{*}(y,t)=T_{1}-\left( T_{1}-T_{0} \right).erf\left( \frac{y}{2.\sqrt[]{\alpha.t}} \right) $$ avec les notations de l'exercice et erf la fonction d'erreur de Gauss.

Avouez que ça ne s'invente pas sans une petite démo. 😋

La première chose est de retrouver l'équation de la chaleur :
SPOILER:
$$ \frac{\partial T}{\partial t}-\alpha.\nabla ^{2}T=\frac{S}{\rho.C_{p}} $$ avec $$ \left\{ \begin{array}{cl}
\alpha & : \text{diffusivité} \\
S & : \text{Source de chaleur}\\
\rho & : \text{Masse volumique}\\
C_{p} & : \text{Chaleur spécifique à pression constante}\\
\nabla ^{2} & : \text{Le Laplacien ou opérateur Laplacien}\\
T & : \text{Température}\\
t & : \text{temps}
\end{array} \right. $$
et de l'appliquer au cas qui nous intéresse, c.a.d.
Résolution de l’Equation de la chaleur instationnaire, dans un milieu semi-infini immobile isotrope homogène, avec des coefficients thermodynamiques constants et sans terme source
Le dessus j'ai apprécié le cours de M. P.-Y. Lagrée, qui à partir de l'équation de la chaleur, démontre l'expression de la température F* (y, t) dans notre cas :
SPOILER:
Sur ce lien:
http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS ... _resol.pdf
au paragraphe 3 où on reconnaitra la définition de la fonction erf citée plus haut.
A partir de là je n'ai pu m'empêcher d'utiliser geogebra qui m'a permis de tracer la solution de la Q1:

Image

Voilà pour la Question 1 :roll: en attendant la Q2
отец (un notre père) сынок (& fils en PC 2021-22)

Messages : 384

Enregistré le : 01 juin 2020 16:26

Classe : Pater et Filius

Re: Exo Laplace

Message par H2Fooko » 14 juil. 2021 20:28

Fête nationale pluvieuse,
Question 2 laborieuse
On cherche ici la durée t au bout de laquelle la température Tc = -8 °C est atteinte à une profondeur de 50 cm (à diffusivité, Températures initiale et finale identiques à la Q1). Ce qui est normalement immédiat:
$$ t=\frac{1}{\alpha}\space.\left( \frac{y}{2\space.erf^{-1}\left( \frac{T_{1}-T_{c}}{T_{1}-T_{0}} \right)} \right)^{2} $$
Sauf que la fonction d'erreur de Gauss (erf) et sa réciproque ne possèdent pas d'expression fermée.
On note que la fonction $ erf^{-1} $ étant définie entre ]-1, +1[ il faut que To < Tc < T1 ce qui est vérifié avec les valeurs numériques données.

Maintenant on a 2 méthodes de résolution approchée :
SPOILER:
  • calcul en ligne : Wolfram donne 519,073 h
  • graphique : geogebra encore une fois 😎 soit 519,226 heures

Image

En négligeant les mn il faut donc 21 jours 15 heures pour que le sol atteigne -8°C à 50 cm de profondeur (avec les conditions initiales données).
отец (un notre père) сынок (& fils en PC 2021-22)

Répondre