Exo Laplace
Exo Laplace
Bonjour,
J'ai des difficultés avec la question 3 de cet exercice : https://www.cjoint.com/data/KFxkz7Ok2L3_laplace1.png
Pourriez-vous m'expliquer comment on met en équation le problème ?
Et ensuite, comment le résoudre par la "méthode de Laplace" ?
J'imagine qu'il y a des transformations de Laplace dans l'affaire, mais comment s'en sort-on après ?
Merci beaucoup par avance pour l'aide, j'en ai bien besoin........
J'ai des difficultés avec la question 3 de cet exercice : https://www.cjoint.com/data/KFxkz7Ok2L3_laplace1.png
Pourriez-vous m'expliquer comment on met en équation le problème ?
Et ensuite, comment le résoudre par la "méthode de Laplace" ?
J'imagine qu'il y a des transformations de Laplace dans l'affaire, mais comment s'en sort-on après ?
Merci beaucoup par avance pour l'aide, j'en ai bien besoin........
Re: Exo Laplace
EDIT: Le lien de l'énoncé étant cassé :
Puisque tu es bloqué à la question 3, tu pourrais peut être nous dire comment tu as résolu les 2 premières questions.
En effet tu incites fortement les gens de bonne volonté à refaire les 2 premières.
A ce propos je ne connais pas F* (y, t) car je n'ai pas ton cours sous les yeux.
Je suppose que c'est la fonction de 2 variables qui donne la température en fonction de l'altitude au sol et du temps ?
Pourquoi s'appelle-t-elle F* et pas T (comme Température) ?
C'est par convention ? Laquelle ?
Bref, ça serait sympa de nous indiquer tes pistes pour la question 3, à quelles équations te font penser les mots "convectif" et "radiatif".
Un schéma avec des capacités et résistances thermiques permettrait peut être de poser les équations ?
Fais comme si tu étais au tableau, commences et les profs qui passent par là se feront un plaisir de t'aider.
Bonjour jeveapgtexercice 6 - Poussée Thermique
Le sol sec est a une température uniforme égale à T0 = 2°C et sa diffusivité thermique α vaut 2,8.10^-7 m^2/s. La température à la surface (y = 0 cm) chute brusquement à T1 = -14°C et se maintient a ce niveau "suffisamment longtemps".
- Tracer sur un graphique l'évolution de F* (y, t = 62h) en fonction de y (entre 0 et 120 cm).
- Au bout de combien de temps la température dans le sol atteindra la valeur de -8°C à une profondeur de 50 cm.
- La température à la surface ne chute pas brusquement à T1 mais est soumise en réalité à un échange convectif et radiatif avec l'air environnant (qui lui est bien à la température T∞ = -14°C) via un coefficient d'échange convectif. Mettez en équation le problème en définissant un coefficient d'échange global hc et calculez l'expression générale du champ de température dans le sol par la méthode de Laplace. Quelle serait la température du sol à 50 cm au bout du temps t0 de la question 2-.
Puisque tu es bloqué à la question 3, tu pourrais peut être nous dire comment tu as résolu les 2 premières questions.
En effet tu incites fortement les gens de bonne volonté à refaire les 2 premières.
A ce propos je ne connais pas F* (y, t) car je n'ai pas ton cours sous les yeux.
Je suppose que c'est la fonction de 2 variables qui donne la température en fonction de l'altitude au sol et du temps ?
Pourquoi s'appelle-t-elle F* et pas T (comme Température) ?
C'est par convention ? Laquelle ?
Bref, ça serait sympa de nous indiquer tes pistes pour la question 3, à quelles équations te font penser les mots "convectif" et "radiatif".
Un schéma avec des capacités et résistances thermiques permettrait peut être de poser les équations ?
Fais comme si tu étais au tableau, commences et les profs qui passent par là se feront un plaisir de t'aider.
Dernière modification par H2Fooko le 31 juil. 2021 09:41, modifié 1 fois.
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63) ➠ EC Lille) и Дух мира (& esprit de 🕊)
Re: Exo Laplace
Le www m'a permis de retrouver la fonction mystère F* (y,t) de la première question qui n'était pas définie dans l'énoncé :
$$ F^{*}(y,t)=T_{1}-\left( T_{1}-T_{0} \right).erf\left( \frac{y}{2.\sqrt[]{\alpha.t}} \right) $$ avec les notations de l'exercice et erf la fonction d'erreur de Gauss.
Avouez que ça ne s'invente pas sans une petite démo.
La première chose est de retrouver l'équation de la chaleur :
et de l'appliquer au cas qui nous intéresse, c.a.d.
A partir de là je n'ai pu m'empêcher d'utiliser geogebra qui m'a permis de tracer la solution de la Q1:
Voilà pour la Question 1 en attendant la Q2
$$ F^{*}(y,t)=T_{1}-\left( T_{1}-T_{0} \right).erf\left( \frac{y}{2.\sqrt[]{\alpha.t}} \right) $$ avec les notations de l'exercice et erf la fonction d'erreur de Gauss.
Avouez que ça ne s'invente pas sans une petite démo.
La première chose est de retrouver l'équation de la chaleur :
SPOILER:
Le dessus j'ai apprécié le cours de M. P.-Y. Lagrée, qui à partir de l'équation de la chaleur, démontre l'expression de la température F* (y, t) dans notre cas :Résolution de l’Equation de la chaleur instationnaire, dans un milieu semi-infini immobile isotrope homogène, avec des coefficients thermodynamiques constants et sans terme source
SPOILER:
Voilà pour la Question 1 en attendant la Q2
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Re: Exo Laplace
On cherche ici la durée t au bout de laquelle la température Tc = -8 °C est atteinte à une profondeur de 50 cm (à diffusivité, Températures initiale et finale identiques à la Q1). Ce qui est normalement immédiat:Fête nationale pluvieuse,
Question 2 laborieuse
$$ t=\frac{1}{\alpha}\space.\left( \frac{y}{2\space.erf^{-1}\left( \frac{T_{1}-T_{c}}{T_{1}-T_{0}} \right)} \right)^{2} $$
Sauf que la fonction d'erreur de Gauss (erf) et sa réciproque ne possèdent pas d'expression fermée.
On note que la fonction $ erf^{-1} $ étant définie entre ]-1, +1[ il faut que To < Tc < T1 ce qui est vérifié avec les valeurs numériques données.
Maintenant on a 2 méthodes de résolution approchée :
SPOILER:
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