Equation de Schrödinger

[m@tix]

Bonjour,

Dans un problème dans lequel on considère une molécule composée de 2 atomes A (masse M) et B (masse m, m << M), on sait que l'énergie potentielle de B est définie ainsi (modèle 1D):

$ \displaystyle V(x) = V_0(\frac{a^2}{x^2} - \frac{2a}{x}) $

Je n'ai aucune précision sur $ V_0 $ et $ a $.

Après avoir écrit l'équation de Schrödinger de l'atome B, en notant E l'énergie son énergie, je cherche d'une part à prouver que cette équation amène à une expression qui a la forme d'un produit de la fonction $ \Psi $ suivante avec un polynôme en $ x $.

$ \Psi (x) = x^A \, e^{-Bx} $ pour $ x \geq 0 $.

D'autre part, je cherche à montrer que $ \displaystyle A = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1+\frac{8mV_0a^2}{\hbar^2}}) $ et $ \displaystyle B = \frac{4mV_0a}{\hbar^2} \, \frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{8mV_0a^2}{\hbar^2}}} $.

Pour ce faire, j'ai simplement commencé en écrivant:

$ \displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + V_0(\frac{a^2}{x^2} - \frac{2a}{x}) \, \Psi = E \, \Psi $

A partir de là, en écrivant l'équation caractéristique en $ r $, jobtiens $ \displaystyle r^2 = \frac{2m[V_0(\frac{a^2}{x^2} - \frac{2a}{x})]-E}{\hbar^2} $.

Et on peut écrire $ \displaystyle \Psi(x) = C_1 e^{kx} + C_2 e^{-kx} $ en notant $ C_1 $ et $ C_2 $ des constantes, et $ k $ le vecteur d'onde égal à la racine de $ r^2 $.

Premier soucis, étant donné qu'on ne sait rien sur $ E $ et $ V_0 $, il est difficile de dire à quoi est égal $ r $, et par suite $ k $ étant donné qu'on ne connaît à priori pas le signe de $ r^2 $ non? Et en admettant que ce-dernier soit positif, je ne vois pas bien comment on retrouverait ce qui est demandé en premier lieu dans l'énoncé ...

Si vous pouviez m'apporter un peu d'aide, ce ne serait pas de refus!

Merci d'avance.

[Scrimbibete]

Bonsoir,

C'est mal ce que tu fais là, très mal
La méthode de l'équation caractéristique ne s'applique que dans le cas d'une équation différentielle du seconde ordre à coefficients constants, ce qui n'est absolument pas le cas ici.
Il serait bon que tu précises si ton énoncé te suggère d'utiliser la forme que tu proposes, et le cas échéant je pense qu'il ne te reste plus qu'à insérer cette forme dans l'équation de Schroedinger, ou bien si ton énoncé te demande explicitement de retrouver cette forme (ce dont je doute).

[m@tix]

Haaan ...! ( )² Exact exact, j'avais complètement oublié ceci, autant pour moi ..
Après avoir repris ça, je trouve le polynôme suivant:

$ \displaystyle P(x) = (\frac{\hbar^2}{2m} - \frac{\hbar^2 A^2}{2m} + V_0 a^2) \, \frac{1}{x^2} $ $ \displaystyle - (\frac{2AB \hbar^2}{2m} - 2a V_0) \, \frac{1}{x} $ $ \displaystyle - (\frac{\hbar^2 B^2}{2m} + E) $

D'accord?

Ensuite, concernant les expressions de $ A $ et $ B $ tel que $ \Psi $ soit fonction propre, ça bloque encore .. Je ne vois pas bien comment m'y prendre .. ? Je pensais simplement repartir du fait que $ \Psi $ est fonction propre si elle vérifie l'équation de Shcrödinger, soit donc $ P(x) = 0 $, mais après avoir tenté, ça ne donne rien.. Une idée?

[Shindara]

Quelques précisions tout d'abord :
L'équation différentielle que tu essayes ici de résoudre n'est pas l'équation de Schrodinger !!!
L'équation de Schrodinger donne l'évolution temporelle d'un système quantique à partir de son hamiltonien. C'est $ \displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + V(x) \Psi = i \hbar \frac{d \Psi}{dt} $.
Toi, ce que tu fais, c'est que tu résous l'équation aux valeurs propres de l'opérateur hamiltonien $ \displaystyle \hat H \psi = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + V(x) \Psi $ où dans notre problème $ \displaystyle V(x) = V_0(\frac{a^2}{x^2} - \frac{2a}{x}) $.
Pour la valeur propre $ E $, la fonction propre associée $ \Psi $ doit vérifier $ \displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + V(x) \Psi = E \, \Psi $.

Personellement, je ne sais pas résoudre cette équation, donc je suppose que l'énoncé te demande d'injecter la solution proposée et de déterminer les constantes. Attention, tu parles de solutions en une exponentielle multipliée par un polynome, mais l'expression que tu donnes c'est un monome : $ \Psi (x) = x^A \, e^{-Bx} $. QU'est ce que te donne précisément l'énoncé ?

Enfin je ne comprends pas ce qu'est le $ P(x) $ que tu sors (qui n'est d'ailleurs pas vraiment un polynome...). De quelle équation ou condition vient-il ? Dois tu l'annuler ou est ce la forme générale des solutions ?

[m@tix]

Je reprends, en essayant d'être plus clair:

* En premier lieu, on me demande d'écrire l'équation de Schrödinger de l'atome B de masse m dans le potentiel V(x). On me précise alors qu'on pose E l'énergie de l'atome. Donc apparemment, ce n'est pas ce que j'ai écrit .. Mais étrange du coup qu'on évoque E dès cette question vu qu'à priori, il fallait écrire:

$ \displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + V(x) \Psi = i \hbar \frac{d \Psi}{dt} $

A ce stade, je ne connais pas l'expression de \Psi, je suppose juste que c'est une fonction qui décrit l'état du système.

* Ensuite, on me propose de vérifier que la fonction $ \Psi (x) = x^A \, e^{-Bx} $pour $ x \geq 0 $ est bien solution de l'équation. Pour cela, je devais montrer que l'équation amène à une expression ayant pour forme un produit de $ \Psi $ par un polynôme en $ x $, que je cherche ici à exprimer. Est-ce déjà plus clair?

Voici alors comment j'ai raisonné: j'ai considéré que la fonction $ \Psi $ donnée était solution de l'équation, je l'ai alors dérivée deux fois, puis exprimée en fonction de $ \Psi $. J'ai alors remplacé le tout dans l'équation de départ, ce qui donne $ P(x) \, \Psi(x) = 0 $. Et vu que $ \Psi $ ne semble pas s'annuler pour $ x \geq 0 $, j'en ai déduit qu'il fallait peut-être résoudre $ P(x)=0 $ pour trouver $ A $ et $ B $ ..A partir de là (et en supposant que ce que j'avance est correct), je n'ai pas bien saisi la suite.

Pour le polynôme, je trouve:

$ \displaystyle P(x) = (\frac{\hbar^2}{2m} - \frac{\hbar^2 A^2}{2m} + V_0 a^2) $ $ \, \displaystyle - (\frac{2AB \hbar^2}{2m} - 2a V_0) \, x $ $ \displaystyle - (\frac{\hbar^2 B^2}{2m} + E)\, x^2 $

[Shindara]

Peut-être que ton énoncé est imprécis sur le vocabulaire...Mais l'équation de Shrodinger c'est ça $ \displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + V(x) \Psi = i \hbar \frac{d \Psi}{dt} $, et ça c'est une équation aux valeurs propres $ \displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + V(x) \Psi = E \Psi $.

Ensuite, il arrive souvent dans des exos de physique de prépa qu'on te demande abusivement de montrer que les solutions sont de cette forme alors qu'on attend juste de toi que tu vérifies que cette fonction est bien solution en ajustant les constantes (quoique si on est sous les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz la solution est unique, et donc en vérifiant qu'on a une solution on montre bien que c'est la solution ).

Pour le polynôme, je trouve:

$ \displaystyle P(x) = (\frac{\hbar^2}{2m} - \frac{\hbar^2 A^2}{2m} + V_0 a^2) $ $ \, \displaystyle - (\frac{2AB \hbar^2}{2m} - 2a V_0) \, x $ $ \displaystyle - (\frac{\hbar^2 B^2}{2m} + E)\, x^2 $

Très bien, donc tu dois juste ajuster les constantes A et B pour que ce polynome soit le polynome nul. Trois équations pour deux paramètres... est ce que ça marche quand même ? (D'ailleurs tu peux trouver des valeurs de $ E $ pour lesquelles ce n'est pas possible : cela veut dire que certaines énergies $ E $ ne sont pas valeur propres pour ce potentiel...)

[m@tix]

Très bien, donc tu dois juste ajuster les constantes A et B pour que ce polynome soit le polynome nul. Trois équations pour deux paramètres... est ce que ça marche quand même ? (D'ailleurs tu peux trouver des valeurs de $ E $ pour lesquelles ce n'est pas possible : cela veut dire que certaines énergies $ E $ ne sont pas valeur propres pour ce potentiel...)

... ce qui montrerait donc que l'énergie est quantifiée.

Quand tu dis "très bien", c'est que c'est bien le bon polynôme?

Concernant A et B, justement, comment les déterminer? En déterminant les racines du polynômes, etc .. ? Si c'est le cas, le calcul est vraiment lourd quand même ..

[François Schnepf]

http://m1mathsgen.free.fr/vrac2/Agreg%2 ... nalyse.pdf

J'ai cherché par hasard les sujets de l'agreg de maths de cette année, et j'ai trouvé ça.

[SL2(R)]

je trouve le polynôme suivant:

$ \displaystyle P(x) = (\frac{\hbar^2}{2m} - \frac{\hbar^2 A^2}{2m} + V_0 a^2) \, \frac{1}{x^2} $ $ \displaystyle - (\frac{2AB \hbar^2}{2m} - 2a V_0) \, \frac{1}{x} $ $ \displaystyle - (\frac{\hbar^2 B^2}{2m} + E) $

D'accord?

Non : le coefficient devant $ 1/x^2 $ est faux (quand on dérive deux fois $ x^A $, on trouve : $ A(A-1) \, x^{A-2} $ ).

Ensuite, concernant les expressions de $ A $ et $ B $ tel que $ \Psi $ soit fonction propre, ça bloque encore .. Je ne vois pas bien comment m'y prendre .. ? Je pensais simplement repartir du fait que $ \Psi $ est fonction propre si elle vérifie l'équation de Schrödinger, soit donc $ P(x) = 0 $, mais après avoir tenté, ça ne donne rien.. Une idée?

Il faut imposer $ P(x) = 0 \ \forall x \in \mathbb R^+ $, ce qui implique que les trois coefficients soient nuls. On obtient trois équations pour les trois inconnues $ A,B $ et$ E $ :

• (1) $ \displaystyle \frac{\hbar^2}{2m}A(A-1) = V_0 a^2 $
  
  (2) $ \displaystyle\frac{AB \hbar^2}{m} = 2a V_0 $
  
  (3) $ \displaystyle E = - \, \frac{\hbar^2 B^2}{2m} $

(1) est une équation du second degré pour $ A $ qui donne bien : $ \displaystyle A = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1+\frac{8mV_0a^2}{\hbar^2}}) $
(on ne garde que la solution positive, car la fonction d'onde $ \psi(x) $ doit être de carré sommable sur $ \mathbb R^+ $ )


Avec ce résultat, (2) conduit alors à : $ \displaystyle B = \frac{4mV_0a}{\hbar^2} \, \frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{8mV_0a^2}{\hbar^2}}} $

[Shindara]

Quand tu dis "très bien", c'est que c'est bien le bon polynôme?

D'après SL2(R), non !
(Moi comme je suis paresseux, je ne vérifie jamais les calculs, je me limite aux explications sur la démarche )

... ce qui montrerait donc que l'énergie est quantifiée.

Oui (même si a priori il peut aussi y avoir un spectre continu, mais là on rentre dans des détails poussés).

http://m1mathsgen.free.fr/vrac2/Agreg%2 ... nalyse.pdf

J'ai cherché par hasard les sujets de l'agreg de maths de cette année, et j'ai trouvé ça.

Heu, en survolant j'ai l'impression que ça traite de l'oscillateur harmonique quantique, je ne vois pas trop le rapport. Il faut aller voir quelle partie ?

(on ne garde que la solution positive, car la fonction d'onde doit être de carré sommable sur )

A vue de nez, il me semble que pour $ a $ et $ V_0 $ "assez petits", l'autre racine conduit à des solutions encore sommables, nan ? Mais bon, si l'énoncé précise polynome, on prend la racine positive, y a pas à discuter...