Moment cinétique et pendule

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Moment cinétique et pendule

Message par rafi64 » 19 janv. 2011 18:24

Bonjour à tous, voici l'énoncé de mon exercice auquel je trouve des résultats plutôt ... louches :
Un point matériel M de masse m est fixé à une extrémité d'un pendule simple de longueur $ l_0 $. L'autre extrémité A du pendule est astreinte à se déplacer horizontalement (axe(Ox)) suivant la loi horaire $ x_A(t)=a\cos(\Omega t) $. On désigne par $ \theta $ l'angle que fait le pendule avec la verticale à l'instant t. Le référentiel attache à (Oxyz) est supposé galiléen, avec l'axe (Oz) vertical ascendant.

Je dois d'abord déterminer le moment cinétique de M en A puis en déduire l'ED vérifiée par $ \theta $.
Pour le moment cinétique, je trouve : $ ml_0[a\Omega\sin(\Omega t)\cos(\theta)+\theta'a\cos(\Omega t)\sin(\theta)+l_0\theta']\vec{u_y} $.
Mais alors pour l'ED, j'utilise le TMC et je trouve un truc atroce, j'ai du me planter :
$ \[a\Omega^2 \cos(\Omega t)\cos(\theta)-2a\theta'\Omega\sin(\Omega t)\sin(\theta)+\theta''a\cos(\Omega t)\sin(\theta)\] $$ +(\theta')^2a\cos(\Omega t)\cos(\theta)+l_0\theta''=g\sin(\theta) $.
Je n'espère même pas essayer de la résoudre :)
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Re: Moment cinétique et pendule

Message par poutrelle » 19 janv. 2011 22:35

Je n'ai pas refait les calculs mais je ne vois pas de mal à trouver une équation qu'on peut pas résoudre...
Déjà sans l'oscillation ajoutée en A, on trouve du thêta'' + w² sin(thêta) = 0 et on la 'résout' ** pas si classiquement que ça.

** 'résout' parce qu'on peut avoir t = f(thêta) il me semble ^^
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Re: Moment cinétique et pendule

Message par poutrelle » 19 janv. 2011 23:22

J'ai essayé de faire les calculs (nostalgie ... :roll: ) et j'ai obtenu ceci pour le moment cinétique du point matériel M en A, dans le référentiel de l'énoncé :
$ {\vec{L}_{A}=ml(a \Omega cos(\theta)sin(\Omega t)-l\theta ') \vec{uy} $

et après on applique ceci pour trouver l'équation du mouvement :

$ \frac{\vec{dL}_{A}}{dt}=mglsin(\theta)\vec{uy} $

Toujours est-il que trouver une équation ne veut pas dire la résoudre. Et très souvent, dans la réalité, on ne résout pas les équations du mouvement analytiquement, mais on utilise un schéma numérique (type Euler ou autre).

D'ailleurs ici le schéma d'Euler ne conviendrait pas puisqu'on a une équation qui n'est pas du premier ordre.
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Re: Moment cinétique et pendule

Message par fakbill » 19 janv. 2011 23:54

Bah les solutions analyiques ça sert à faire de la physique théorique et à faire passer des exams.
En pratique, rien (presque rien, à un sens précis) n'a de solution analytique. Il faut en avoir conscience.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_simple est bien gentil de partir sur des devel en série MAIS il ne dit pas un mot sur le fait qu'il est simple de réoudre ça numériquement à la précision qu'on veut (c'est un système très gentil de ce point de vue). Dire que c'est une fonction spéciale de Machin_Truc ne fait pas avancer le problème d'un poil.
Le cas non linéaire, ce n'est pas un monstre...c'est le cas linéaire qui est une exception ;)
On peut virer le sinus et "résoudre" le pb analytiquement mais pouvez vous me dire l'erreur max que vous faites quand vous faites ça?? ;)


Bon sinon là pour l'exo ça doit être plus simple que ça. Déjà je suppose qu'on travaille aux petits angles :)
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Re: Moment cinétique et pendule

Message par poutrelle » 20 janv. 2011 00:14

Si on se place dans le cadre de petites oscillations, on peut tracer la solution analytique et la solution approchée et s'intéresser à l'erreur, ok.
Mais qu'est-ce que c'est des " petites " oscillations ? ($ \theta_{0} < \frac{\pi}{12} $ ? )
Et qu'est-ce que cette erreur ? La différence entre les deux sur un intervalle de temps du type [0,a] ?

L'erreur dépend donc de 2 paramètres, peut-on parler alors de L'erreur ?
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Re: Moment cinétique et pendule

Message par fakbill » 20 janv. 2011 23:34

Ha ben si tu attaques sur le controle de l'erreur (cad en gros en calculer un majorant) en analyse numérique, tu vas me faire parler pendant des heures :)
L'erreur totale c'est par exemple "à t=42s mon calcul numérique prédit que le pendule est *là* or la solution exacte des équations (celle qu'on ne peut pas calculer explicitement) dit que doit être un eu à coté". Tout le fun de l'analyse numérique, c'est de controler le "un peu à coté".

Si je veux pour 0<t<42s prédire la position du pendule à un miliradian près, comment dois je m'y prendre? C'est ça la question.
Après on a différents types d'erreurs : L'erreur de méthode (c'est un méthode approchée donc même si je fais le calcul parfaitement ça ne donnera pas exactement la solution (ou alors seulement dans certains cas))...le pb étant qu'on a de erreurs d'arrondis qui fichent tout en l'air. Va calculer une intégrale en sommant "à la Riemann"...ça va marcher mais si tu réduis trop le pas d'intégration, à un moment, ta précision va chuter au lieu d'augmenter à cause des erreur d'arrondis.

C'est super fun l'analyse numérique :) (dommage que bcp en france trouve ça sale :( )
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Re: Moment cinétique et pendule

Message par poutrelle » 21 janv. 2011 19:48

Je trouve ça fun moi aussi ^^

Mais c'est vrai qu'on n'a pas souvent des problèmes posés comme tu viens de le décrire (type trouver la solution à telle erreur etc...).
C'est plus du genre : on trace pour un petit pas la solution, si on bouge un peu le pas on a quasiment la même chose, donc c'est bon. ^o^

D'ailleurs récemment on a comparé les schémas d'Euler, Newmark et Runge Kutta en explicite et implicite etc... C'est vraiment intéressant. Mais on pousse pas beaucoup sur le côté mathématiques de la chose.

On nous a aussi présenté les méthodes de mesure de l'erreur en éléments finis c'est vraiment le cœur du métier je trouve.
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Re: Moment cinétique et pendule

Message par fakbill » 21 janv. 2011 20:45

Yep c'est fun tout ça :)
Au passage, ces méthodes marchent qq l'ordre de l'équation.
Il faut juste réécrire l'équation comme étant un système d'équation d'ordre 1.

Trrrrèèèèès important : Ok là on t'apprends ces méthodes *mais* dans la vraie vie, ne les code jamais toi même (sauf en gros si tu es chercheur en ana num). Trouve la bonne lib ou le bon soft connu et reconnu pour faire ça.
C'est bête mais on voit beaucoup d'ingés debarquer fraichement de leur école et qui réinventent, mal, la roue.
C'est normal car jamais personne ne leur a dit qu'il y avait de bonnes libs pour faire tout ça. De plus ils ont eu leur diplome en les codant ces braves méthodes...mais ils faut leur dire de ne plus le faire ;)
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Re: Moment cinétique et pendule

Message par poutrelle » 21 janv. 2011 22:18

ahem... on refait tout sous Matlab :mrgreen:
Et sinon en mode librairie les ingés font avec quoi ?
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Re: Moment cinétique et pendule

Message par fakbill » 21 janv. 2011 22:31

Ben matlab par exemple! mais en utilisant les fonctions toutes faites de matlab hein...pas en les recodant en matlab...

Après ça dépend bcp du domaine et même parfois des habitudes des gens dans l'équipe dans laquelle tu arrives:
Moi je fais mes petits calculs en python/scipy/numpy/matplotlib (google pour voir ce que c'est) ou avec mathematica si je sais qu'une fonction mathematica va tuer le pb en 2s.

D'autres font du matcad (je n'aime pas mais encore c'est une question de goût).
Si tu doit coder du numérique dans un code en C ou en fortran, tu as NAG, gsl, atlas, libsparsesuite, fftw, lapack, blas et j'en passe.

Certains pensent toujours qu'on devient bête en utlisant des trucs tout faits.
C'est ridicule. On le les utlise pas sans en connaitre les limites et au moins on sait qu'ils existent :roll:
Ca évite de faire comme une copine chimiste qui tentait de résoudre une équa diff avec...tadaaaaa *excel*.
Ha ben elle avait coder Euleur...une ligne par pas de temps...HA HA HA et le pire étant qu'elle a fait une très bonne école de *chimie* (mais alors pour le coup QUE de chimie :( ). C'est désolant.
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