Physiciennes, physiciens, bonsoir,
Je planche actuellement sur un petit problème et mes tentatives se sont jusqu'ici révélées bien infructueuses.
(i) On considère un élastique de masse linéique μ dont les extrémités sont attachées en deux points fixes A et B. Déterminer l'équation associée à la courbe formée par l'élastique à l'équilibre.
(ii) Même question dans le cas où l'élastique est supposée de masse négligeable devant une masse m supposée ponctuelle déposée en son milieu.
Je maîtrise sans problème les questions (i) et (ii) dans le cas d'une corde inextensible mais dans le cas d'un élastique, je sèche.
Le problème est-il seulement résoluble dans le cas général ? Est-il nécessaire de faire intervenir certaines restrictions ?
Je précise tout de même que ce n'est pas un extrait d'oral de concours, donc il n'est pas impossible que sa résolution soit inaccessible avec des outils de MP.
Merci d'avance pour vos indices/éléments de réponse.
Petit problème sympathique sur un élastique
Re: Petit problème sympathique sur un élastique
L'exercice est solvable avec des connaissances de MP. Quel est le début de votre raisonnement ? Vos pistes ? Vos essais ? Vos échecs ? (n'oubliez pas qu'on travaille à l'équilibre) Quel est la formulation précise de votre problème ?
Re: Petit problème sympathique sur un élastique
Étonnant que le cas de la corde élastique te bloques, c'est pourtant plus simple pour un élève de classe préparatoire. Comment peux-tu modéliser l'élastique?
Re: Petit problème sympathique sur un élastique
Pour être sûr que nous soyons bien en phase, je reformule juste mon premier énoncé :
Je considère un élastique de raideur $ k $ et de longueur à vide $ l_0 $.
Je considère deux points $ A $ et $ B $ tels que la droite $ (AB) $ soit parallèle au sol et que $ d(A,B)=l_ $0.
J'attache l'extrémité gauche de l'élastique en $ A $, la droite en $ B $.
Déterminer l'équation de la courbe associée à la forme prise par l'élastique.
À mon sens, il s'agit d'appliquer le même raisonnement que pour la détermination de l'équation de la courbe associée à la forme d'un chaînon inextensible attachée en deux points fixes, à savoir :
On travaille dans un repère $ (0,x,y) $. On note $ \mu $ la masse linéique de la corde inextensible. On pose $ d(A,B)=d $ et on note $ L $ la longueur du chaînon.
(i) On considère en $ x $ un élément de longueur infinitésimal du chaînon $ ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=dx \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} $.
(ii) On introduit la tension exercée à droite $ \vec{T}(x+dx) $ et celle exercée à gauche $ -\vec{T}(x) $.
(iii) En traduisant que la somme des forces s'appliquant à cette portion infinitésimale de corde est nulle, on obtient que la composante $ T_x $ est constante, égale à $ T_0 $ et que $ \mu g \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \frac{dT_y}{dx} $ (1).
(iv) L'équation (1) devient une équation différentielle, en exploitant que $ \frac{dy}{dx} = \frac{T_y}{T_x} $ (2), qu'on résout.
(v) On détermine, en utilisant que $ \frac{dy}{dx}(0) = 0 $, en posant $ y(d/2)=0 $ et en utilisant $ \int_0^d y(x)dx = L $ les constantes d'intégration et le $ T_0 $ inconnus.
Je pensais donc appliquer un raisonnement similaire pour mon élastique à l'équilibre.
Mes problèmes et interrogations sont :
(i) Peut-on considérer que dans l'élastique le $ \vec{T}(x) $ introduit plus haut est constant en norme, égale à $ k(L_{equilibre}-l_0) $. Cela me permettrait d'avoir une quatrième relation, sachant que $ L_{equilibre} $ est cette fois inconnue et qu'il me faut donc disposer de quatre relations contrairement à trois précédemment ?
(ii) La relation (2) est-elle toujours valable ? C'est en tout cas elle qui est déterminante dans l'exercice précédent.
En vérité, ce qui semble me bloquer ici est surtout mon manque de connaissances sur les forces internes s'exerçant dans un élastique/ressort. Si en plus de votre aide, vous pourriez éventuellement m'indiquer un lien ou un ouvrage à consulter sur les forces internes dans ce type de matériau élastique, je vous en serais fort gré.
Je considère un élastique de raideur $ k $ et de longueur à vide $ l_0 $.
Je considère deux points $ A $ et $ B $ tels que la droite $ (AB) $ soit parallèle au sol et que $ d(A,B)=l_ $0.
J'attache l'extrémité gauche de l'élastique en $ A $, la droite en $ B $.
Déterminer l'équation de la courbe associée à la forme prise par l'élastique.
À mon sens, il s'agit d'appliquer le même raisonnement que pour la détermination de l'équation de la courbe associée à la forme d'un chaînon inextensible attachée en deux points fixes, à savoir :
On travaille dans un repère $ (0,x,y) $. On note $ \mu $ la masse linéique de la corde inextensible. On pose $ d(A,B)=d $ et on note $ L $ la longueur du chaînon.
(i) On considère en $ x $ un élément de longueur infinitésimal du chaînon $ ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=dx \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} $.
(ii) On introduit la tension exercée à droite $ \vec{T}(x+dx) $ et celle exercée à gauche $ -\vec{T}(x) $.
(iii) En traduisant que la somme des forces s'appliquant à cette portion infinitésimale de corde est nulle, on obtient que la composante $ T_x $ est constante, égale à $ T_0 $ et que $ \mu g \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \frac{dT_y}{dx} $ (1).
(iv) L'équation (1) devient une équation différentielle, en exploitant que $ \frac{dy}{dx} = \frac{T_y}{T_x} $ (2), qu'on résout.
(v) On détermine, en utilisant que $ \frac{dy}{dx}(0) = 0 $, en posant $ y(d/2)=0 $ et en utilisant $ \int_0^d y(x)dx = L $ les constantes d'intégration et le $ T_0 $ inconnus.
Je pensais donc appliquer un raisonnement similaire pour mon élastique à l'équilibre.
Mes problèmes et interrogations sont :
(i) Peut-on considérer que dans l'élastique le $ \vec{T}(x) $ introduit plus haut est constant en norme, égale à $ k(L_{equilibre}-l_0) $. Cela me permettrait d'avoir une quatrième relation, sachant que $ L_{equilibre} $ est cette fois inconnue et qu'il me faut donc disposer de quatre relations contrairement à trois précédemment ?
(ii) La relation (2) est-elle toujours valable ? C'est en tout cas elle qui est déterminante dans l'exercice précédent.
En vérité, ce qui semble me bloquer ici est surtout mon manque de connaissances sur les forces internes s'exerçant dans un élastique/ressort. Si en plus de votre aide, vous pourriez éventuellement m'indiquer un lien ou un ouvrage à consulter sur les forces internes dans ce type de matériau élastique, je vous en serais fort gré.
Re: Petit problème sympathique sur un élastique
Bravo pour votre rigueur exemplaire.
(i) Seulement, vous vous embrouillez dans une complexité inutile. Qualitativement vous cherchez à exprimer y en fonction de x. Qualitativement, vous voyez que si k est "très grand", alors l'élastique est tendu presqu'au maximum. Maintenant, avec un peu de lâcheté, l'élastique se courbe un peu (allure parabolique par symétrie). La question (i) n'a pas vraiment de sens.
Non, vous ne pouvez pas faire cette hypothèse. Réfléchissez un instant. On fait de la physique, pas des maths.
(ii) Non, elle est valable à l'équilibre.
Pas besoin de bibliographie.
(i) Seulement, vous vous embrouillez dans une complexité inutile. Qualitativement vous cherchez à exprimer y en fonction de x. Qualitativement, vous voyez que si k est "très grand", alors l'élastique est tendu presqu'au maximum. Maintenant, avec un peu de lâcheté, l'élastique se courbe un peu (allure parabolique par symétrie). La question (i) n'a pas vraiment de sens.
Non, vous ne pouvez pas faire cette hypothèse. Réfléchissez un instant. On fait de la physique, pas des maths.
(ii) Non, elle est valable à l'équilibre.
Pas besoin de bibliographie.
Re: Petit problème sympathique sur un élastique
Le problème est que l'exercice ne peut-être considéré comme résolu que si l'on exprime les inconnus en fonction des données de l'énoncé, dans le cas du premier ou du deuxième exercice.
Pour le premier exercice :
On change simplement $ x(A)=0 $ en $ x(A)=-d $ : on a donc $ d(A,B)=2d $.
Alors, on trouve facilement en résolvant l'équation différentielle $ y(x)=\delta (ch(\frac{x}{\delta})-1) $ en ayant posé $ \delta:=\frac{T_0}{\mu g} $ (en m).
On retrouve au passage l'allure parabolique évoquée lorsque $ \frac{d}{\delta} << 1 $ soit en gros $ poids\ de\ l'elastique << tension\ de\ l'elastique $, en remplaçant par un équivalent de $ (ch(\frac{x}{\delta})-1) $.
En traduisant $ \int_0^d ds = \frac{L}{2} $, on obtient l'équation $ \delta sh(\frac{d}{\delta}) - \frac{L}{2} = 0 $ (1) qui est une équation du type $ f(T_0)=0 $ et on a donc entièrement résolu le problème.
Pour le second exercice :
La résolution donne exactement la même solution, sauf qu'ici $ L_{equilibre} $ n'est pas connue.
L'équation $ \delta sh(\frac{d}{\delta}) - \frac{L_{equilibre}}{2} = 0 $ s'écrit cette fois-ci $ f(L_{equilibre},T_0)=0 $.
Il nous manque donc dans le deuxième exercice une deuxième équation permettant de déterminer entièrement les inconnues $ T_0 $ et $ L_{equilibre} $. Je ne vois non plus (et surtout) apparaître à aucun moment la raideur $ k $, ou bien la longueur à vide $ l_0 $ de l'élastique, et je ne vois pour l'instant pas comment les relier à $ T_0 $ ou $ L_{equilibre} $.
Pour le premier exercice :
On change simplement $ x(A)=0 $ en $ x(A)=-d $ : on a donc $ d(A,B)=2d $.
Alors, on trouve facilement en résolvant l'équation différentielle $ y(x)=\delta (ch(\frac{x}{\delta})-1) $ en ayant posé $ \delta:=\frac{T_0}{\mu g} $ (en m).
On retrouve au passage l'allure parabolique évoquée lorsque $ \frac{d}{\delta} << 1 $ soit en gros $ poids\ de\ l'elastique << tension\ de\ l'elastique $, en remplaçant par un équivalent de $ (ch(\frac{x}{\delta})-1) $.
En traduisant $ \int_0^d ds = \frac{L}{2} $, on obtient l'équation $ \delta sh(\frac{d}{\delta}) - \frac{L}{2} = 0 $ (1) qui est une équation du type $ f(T_0)=0 $ et on a donc entièrement résolu le problème.
Pour le second exercice :
La résolution donne exactement la même solution, sauf qu'ici $ L_{equilibre} $ n'est pas connue.
L'équation $ \delta sh(\frac{d}{\delta}) - \frac{L_{equilibre}}{2} = 0 $ s'écrit cette fois-ci $ f(L_{equilibre},T_0)=0 $.
Il nous manque donc dans le deuxième exercice une deuxième équation permettant de déterminer entièrement les inconnues $ T_0 $ et $ L_{equilibre} $. Je ne vois non plus (et surtout) apparaître à aucun moment la raideur $ k $, ou bien la longueur à vide $ l_0 $ de l'élastique, et je ne vois pour l'instant pas comment les relier à $ T_0 $ ou $ L_{equilibre} $.
Re: Petit problème sympathique sur un élastique
Je te suggère de jeter un coup d'oeil à la troisième partie de l'épreuve X MP 2014.
Le même cas est traité en détail.
Le même cas est traité en détail.
2012-2013: MPSI 3 Salé
2013-2014: MP 1 Salé
2014-2015 : MP* Lycée Henri Wallon.
2015- : ENSAE Paristech
2013-2014: MP 1 Salé
2014-2015 : MP* Lycée Henri Wallon.
2015- : ENSAE Paristech