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Séries de fourier

Posté : 01 avr. 2018 21:56
par Peria
Bonsoir

J'aimerais savoir si l'on peut parler de transformée de Fourier pour les fonctions périodiques en parlant de séries de Fourier (ie: une série de Fourier est-elle une transformée de Fourier)

D'autre part, qu'est-ce qu'une transformée de Fourier discrète? S'agit-il d'un autre nom pour les séries de Fourier ou bien s'agit-il d'un autre outil séparé des 2 précédents ?

Re: Séries de fourier

Posté : 01 avr. 2018 22:10
par Sylve
Question bonus à laquelle mon prof n'a pas su répondre : à quoi bon parler de transformée de Fourier en physique si tout signal physique est de durée finie (sous-entendu, on pourrait le prolonger périodiquement arbitrairement et simplement utiliser des séries de Fourier) ?

Re: Séries de fourier

Posté : 01 avr. 2018 22:26
par Ewind
Sylve a écrit :
01 avr. 2018 22:10
Question bonus à laquelle mon prof n'a pas su répondre : à quoi bon parler de transformée de Fourier en physique si tout signal physique est de durée finie (sous-entendu, on pourrait le prolonger périodiquement arbitrairement et simplement utiliser des séries de Fourier) ?
Tu peux voir un signal fini comme étant produit de ton signal allant de - a + infini * une fonction porte => Diffraction.

La transformée de Fourier discrète, c'est quand tu travailles avec un signal échantillonné. C'est ce que tu fais quand tu réalises la transformée de Fourier d'un signal en TP : voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Transform ... ier_rapide

Re: Séries de fourier

Posté : 01 avr. 2018 22:39
par Yoz
Sylve a écrit :
01 avr. 2018 22:10
Question bonus à laquelle mon prof n'a pas su répondre : à quoi bon parler de transformée de Fourier en physique si tout signal physique est de durée finie (sous-entendu, on pourrait le prolonger périodiquement arbitrairement et simplement utiliser des séries de Fourier) ?
Certes tout signal réel est borné dans le temps, mais travailler avec une transformée de Fourier c'est plus "propre" du point de vue des calculs. Quand tu fais des calculs, tu supposes très souvent que le signal est émis en continu, ce qui permet de manipuler des fonctions pas trop dégueulasses (les fonctions à support compact, c'est plutôt de la merde). Bien sûr, c'est une approximation, mais quelque part tout calcul est une approximation, et en général la transformée de Fourier d'une fonction est vachement plus sympathique que la série de Fourier de la même fonction*une porte...

Sinon, y'a aussi une réponse plus définitive mais moins au programme : tu as besoin d'utiliser la transformée de Fourier, la vraie (= au sens des distributions) pour faire de la Méca Q, de la Relat et résoudre diverses EDP qui interviennent en Physique.

Re: Séries de fourier

Posté : 01 avr. 2018 22:59
par matmeca_mcf1
Les séries de Fourier sont au programme de prépa? Je croyais que cela avait disparu diu programme. Une transformée de Fourier discréte transforme un signal discret (défini sur $ \mathbb{R}^N $) en un autre signal discret en fréquence défini sur $ \mathbb{R}^N $ par:
$$
\hat{u}_k=\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}u_j\exp(-\frac{2\mathrm{i}kj\pi}{N})\\
u_j=\sum_{k=0}^{N-1}\hat{u}_k\exp(\frac{2\mathrm{i}kj\pi}{N})\\
$$

Pour la transformée de Fourier d'une fonction périodique $ L^1_{loc} $, elle peut être calculée dans l'espace des distributions tempérées mais c'est très très violemment hors-programme.

De toute façon pour analyser un signal sur un intervalle bornée non périodique (comme une image), il est souvent préférable d'utiliser la transformée cosinus à la transformée de Fourier.

Re: Séries de fourier

Posté : 01 avr. 2018 23:01
par Peria
En fait je tente de m'éclaircir les idées pour mieux comprendre l'optique de Fourier qui utilise ces TF HP ...

Re: Séries de fourier

Posté : 01 avr. 2018 23:05
par Peria
Pour ces fameuses portes :
En optique de fourier par exemple considérer l'objet comme une série de Fourier * une porte revient à considérer uniquement les fréquences spatiales (les 3 fréquences spatiales typiquement pour une fonction en 1+t1 cos(2pi x/a) ) * le sin cardinal de la TF ?

Re: Séries de fourier

Posté : 01 avr. 2018 23:27
par bullquies
J'aimerais savoir si l'on peut parler de transformée de Fourier pour les fonctions périodiques en parlant de séries de Fourier (le : une série de Fourier est-elle une transformée de Fourier)
Bonjour,

Fais le calcul, tu verras, ça marche pas trop mal.

Prends une fonction $ f $ à support compact entre 0 et T. Je te conseille de calculer d'une part la transformée de fourier de $ Ш_T \times f $ (Ш est le peigne de dirac), et d'autre part la série de fourier associée à cette même fonction.

Si mes calculs ne sont pas trop faux ça doit donner la même chose si on utilise cette propriété du peigne ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Peigne_de ... de_Fourier ) et le fait que la TF d'un produit est une convolution.

Re: Séries de fourier

Posté : 01 avr. 2018 23:44
par Peria
Les TF sont HP en spé (Enfin sont censées être "fournies")
Je m'y connais très peu dessus
La question que tu cites est posée surtout pour savoir si lorsque je lis "TF" je dois plutôt m'orienter vers un spectre continu ou bien si le terme peut également englober les spectres discrets

Re: Séries de fourier

Posté : 01 avr. 2018 23:54
par bullquies
en physique tu auras les deux de manière interchangeable.

Si tu fais de l'optique, tu liras des choses sur le doublet du sodium (qu'on supposera très souvent discret pour simplifier).

Et si tu fais de l'électromagnétisme tu liras surtout des choses avec des spectres continus (mais à support compact). Par exemple quand on parle de modulation de signal radio.