Date d'arret d'un pendule
Publié : 20 août 2018 20:14
Bonjour,
Je bloque sur une question d'un exercice de physique et j'ai du mal à comprendre la correction qui se voit très succincte.
Voici l'énoncé:
L'équation différentielle qui régit le comportement angulaire d'un pendule posé sur un support incliné tournant est :
$ \ddot{ \theta } =- \omega_{1}^{2} \theta + f_d \omega_{0}^{2} \cos \alpha $.
On suppose que $ \theta (t_g) = \theta_g $ et $ \dot{\theta}(t_g) = \Omega $.
1) Déterminer $ \theta (t>t_g) $.
2) En déduire la date d'arrêt du pendule, $ t_a $ et une condition pour que cette date existe.
Pour la question 1, je trouve (avec toute simplification) : $ \theta (t) = (\theta_g - \displaystyle\frac{f_d \omega_{0}^{2} \cos \alpha}{\omega_{1}^{2}})\cos(\omega_{1}(t-t_g)) + \displaystyle\frac{\Omega}{\omega_{1}} \sin(\omega_{1}(t-t_g)) + \displaystyle\frac{f_d \omega_{0}^{2} \cos \alpha}{\omega_{1}^{2}} $.
Le problème est la question 2. Voici ce que me propose la correction :
L'équation à résoudre pour déterminer cet instant et l'angle $ \theta_C $ correspondant est :
$ \dot{\theta}=\Omega = -\omega_{1}(\theta_g - f_d cotan \alpha)\sin(\omega_{1}(t_C -t_g)) + \Omega \cos(\omega_{1}(t_C -t_g)) + f_d cotan \alpha $
Je ne comprends pas pourquoi cela revient à résoudre l'équation $ \dot{\theta}=\Omega $.
Merci d'avance !
EDIT : Suppression des $ \omega_{0}^2 $ en trop
Je bloque sur une question d'un exercice de physique et j'ai du mal à comprendre la correction qui se voit très succincte.
Voici l'énoncé:
L'équation différentielle qui régit le comportement angulaire d'un pendule posé sur un support incliné tournant est :
$ \ddot{ \theta } =- \omega_{1}^{2} \theta + f_d \omega_{0}^{2} \cos \alpha $.
On suppose que $ \theta (t_g) = \theta_g $ et $ \dot{\theta}(t_g) = \Omega $.
1) Déterminer $ \theta (t>t_g) $.
2) En déduire la date d'arrêt du pendule, $ t_a $ et une condition pour que cette date existe.
Pour la question 1, je trouve (avec toute simplification) : $ \theta (t) = (\theta_g - \displaystyle\frac{f_d \omega_{0}^{2} \cos \alpha}{\omega_{1}^{2}})\cos(\omega_{1}(t-t_g)) + \displaystyle\frac{\Omega}{\omega_{1}} \sin(\omega_{1}(t-t_g)) + \displaystyle\frac{f_d \omega_{0}^{2} \cos \alpha}{\omega_{1}^{2}} $.
Le problème est la question 2. Voici ce que me propose la correction :
L'équation à résoudre pour déterminer cet instant et l'angle $ \theta_C $ correspondant est :
$ \dot{\theta}=\Omega = -\omega_{1}(\theta_g - f_d cotan \alpha)\sin(\omega_{1}(t_C -t_g)) + \Omega \cos(\omega_{1}(t_C -t_g)) + f_d cotan \alpha $
Je ne comprends pas pourquoi cela revient à résoudre l'équation $ \dot{\theta}=\Omega $.
Merci d'avance !

EDIT : Suppression des $ \omega_{0}^2 $ en trop