Formule de Biot et Savart

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Re: Formule de Biot et Savart

Message par SL2(R) » 16 avr. 2019 00:56

Peut-on concevoir une situation où la distribution de courant n'est pas localisée dans l'espace et où la formule de Biot et Savart soit mise en défaut ?
Lorsque une distribution n'est pas localisée, l'intégrale qui donne le potentiel peut diverger.

Comme exemple classique, on étudie l'analogue électrique du fil infini : le cylindre homogène de rayon R, uniformément chargé. Lorsqu'il est de hauteur finie, il n'y a qu'une invariance par rotation autour de l'axe ; en coordonnées cylindriques, on a : $ V(M) = V(r,z) $. Si on le suppose infini, on rajoute une invariance par translation le long de l'axe, donc : $ V(M) = V(r) $. Le champ électrostatique est alors purement radial :

$ \vec{E}(M) \, = \, E_r(r) \ \vec{u}_r $

Le théorème de Gauss permet de calculer le champ en fonction de la densité linéïque de charge $ \lambda = dQ/dz $. A l'extérieur du cylindre (r > R), on obtient :

$ \displaystyle E_r(r) \ = \ \frac{\lambda}{2 \, \pi \, \epsilon_0 \ r} $

(On obtiendrait le même résultat pour le modèle linéïque d'un fil d'épaisseur nulle : R=0).

En utilisant la relation entre le champ et le potentiel électrostatique :

$ \vec{E}(M) \, = \, - \, \vec{\nabla} \, V(M) $

on obtient l'expression du potentiel à l'extérieur du cylindre :

$ \displaystyle V(r) \, = \, - \ \frac{\lambda}{2 \, \pi \, \epsilon_0} \ \ln \, \left( \, \frac{r}{r_0} \, \right) \ + \ V_0 $

où : $ V_0 = V(r_0) $ . On observe ici qu'en raison du logarithme, il est impossible d'imposer la condition aux limites d'annulation à l'infini :

$ \displaystyle \lim_{r\to+\infty} V(r) \, \ne \, 0 $

Essayons maintenant de calculer le potentiel avec la solution fondamentale de l'équation de Poisson. L'invariance par translation permet de choisir le point M dans le plan z = 0. L'intégrale du modèle linéïque s'écrit alors :

$ \displaystyle V(r) \ = \ \frac{\lambda}{4 \, \pi \, \epsilon_0} \ \int_{-\infty}^{+\infty} \ \frac{dz}{\sqrt{r^2 + z^2}} $

Cette intégrale diverge pour tout r positif ! (*)

En revanche, l'intégrale qui donne le champ électrique converge sans problème, et redonne le bon résultat :

$ \displaystyle E_r(r) \ = \ \frac{\lambda \, r}{4 \, \pi \, \epsilon_0} \ \int_{-\infty}^{+\infty} \ \frac{dz}{\left( \, r^2 + z^2 \, \right)^{3/2}} \ = \ \frac{\lambda}{2 \, \pi \, \epsilon_0 \ r} $

(Pour calculer l'intégrale, faire e.g. le changement de variable : $ z \to \psi $ tel que : $ z = r \sinh \psi $)


Le problème magnétostatique se traite de façon analogue. La formule intégrale de Biot et Savart qui donne le champ magnétique d'un fil rectiligne infini converge et donne le bon résultat (que l'on peut obtenir plus simplement avec le théorème d'Ampère). En revanche, l'intégrale censée donner le potentiel-vecteur diverge. Le potentiel-vecteur étant un vrai vecteur, on a par symétrie :

$ \vec{A}(M) \ = \ A_z(r) \ \vec{u}_z $

On retrouve la même intégrale divergente que dans le problème électrique :

$ \displaystyle A_z(r) \ = \ \frac{\mu_0 \, I}{4 \, \pi} \ \int_{-\infty}^{+\infty} \ \frac{dz}{\sqrt{r^2 + z^2}} $


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(*) Il existe une méthode Hi-Tech appelée "renormalisation" qui permet d'extraire une réponse physique censée de l'intégrale divergente. Elle permet de retrouver le comportement logarithmique du potentiel.
"You can't really understand anything unless you can calculate it." (Freeman J. Dyson)

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