Electromagnétisme 2

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Electromagnétisme 2

Message par jeveapgt » 12 oct. 2020 13:12

Bonjour

Comment, à partir des équations de Maxwell, peut-on montrer que le champ électrique est une onde dont la vitesse de propagation c0 est égale à 1√(µo.eps0) ?
De quelle équation de Maxwell faut-il partir ?

Merci bcp par avance de m'aider car je suis vraiment coincée dans une impasse, je ne sais pas vers où aller

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Re: Electromagnétisme 2

Message par Luckyos » 12 oct. 2020 14:25

L'idée c'est de partir de l'égalité $ \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}} \vec E) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div} \vec E) - \vec{\Delta} \vec E $ (vraie pour n'importe quel champ vectoriel pour lequel cette égalité a un sens), tu peux pas vraiment l'inventer mais il faut s'en souvenir.
Là il reste à utiliser deux équations de Maxwell à gauche et une à droite et tu tombes sur l'équation de D'alembert (aussi appelée équation des ondes) avec le $ c_0 $ qui convient, ce qui suffit à montrer que c'est une onde dont la vitesse de propagation est $ c_0 $.

ps : tu as le droit d'intervertir le rotationnel et la dérivée partielle par rapport au temps dans les calculs (c'est une conséquence du théorème de Schwarz parce qu'en physique on suppose qu'on peut dériver autant qu'on veut en gros).

pps : il suffit de considérer les équations de Maxwell dans le vide (donc les densités de charge et de courant sont nulles) car tu n'as besoin que de la vitesse de propagation dans le vide.
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Re: Electromagnétisme 2

Message par jeveapgt » 12 oct. 2020 19:04

Merci de votre réponse.

Donc :

$ \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}} \vec E) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div} \vec E) - \vec{\Delta} \vec E $

Avec Maxwell-Faraday à gauche et Maxwell-Gauss à droite, on obtient :

$ \vec{\mathrm{rot}}(-\frac{\partial \vec B}{\partial t}) = \vec{\mathrm{grad}}(\frac{\rho }{\varepsilon _0}) - \vec{\Delta} \vec E $

Suis-je sur la bonne voie ?
Comment continuer ensuite ?

merci bcp

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Re: Electromagnétisme 2

Message par Luckyos » 12 oct. 2020 19:40

Pour continuer tu relis mon message.
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Re: Electromagnétisme 2

Message par jeveapgt » 12 oct. 2020 20:55

Merci.

Mais en fait ce que je ne comprends pas c'est ça : "il est possible d'intervertir le rotationnel et la dérivée partielle par rapport au temps."

En sachant cela, comment transformer mon égalité ?
Je n'y arrive pas...

Je débute vraiment avec rotationnel, divergence...
Désolée.

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Re: Electromagnétisme 2

Message par Luckyos » 12 oct. 2020 21:02

Dans le rotationnel il n'y a que des différences de dérivées partielles donc c'est un opérateur linéaire : tu commences par sortir le moins.
Ensuite tu intervertis les symboles $ \vec{\mathrm{rot}} $ et $ \frac{\partial}{\partial t} $, c'est-à-dire que la dérivée partielle du rotationnel est égale au rotationnel de la dérivée partielle.
Par ailleurs $ \rho = 0 $ (cf pps).
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Re: Electromagnétisme 2

Message par jeveapgt » 12 oct. 2020 21:50

J'obtiens donc, avec vos indications :

$ -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\mathrm{rot}} \vec {B})=-\vec \Delta \vec{E} $

Est-ce correct maintenant ?

Mais je ne vois toujours pas comment continuer....

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Re: Electromagnétisme 2

Message par Krim » 12 oct. 2020 22:30

Bonsoir, tu peux encore utiliser les équations de Maxwell (dans le vide).
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Re: Electromagnétisme 2

Message par jeveapgt » 12 oct. 2020 22:38

Merci !

J'arrive finalement à : $ \mu _0 \varepsilon _0 \frac{\partial^2 \vec {E}}{\partial t^2}=\Delta \vec{E} $

Mais comment, à partir de cette égalité, je peux montrer que le champ électrique est une onde dont la vitesse de propagation c0 est égale à 1√(µo.eps0) ?

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Re: Electromagnétisme 2

Message par Hibiscus » 12 oct. 2020 23:44

Tu viens de le faire !
(Qu'est ce qu'une onde / a quelle equation obeit-elle ?)
Lycée Masséna (Pcsi-PC*) -- École polytechnique (X15) -- PhD Student (Japon, Astrophysique) -- Ingé (spatial)

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