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Electromagnétisme 2

Posté : 12 oct. 2020 13:12
par jeveapgt
Bonjour

Comment, à partir des équations de Maxwell, peut-on montrer que le champ électrique est une onde dont la vitesse de propagation c0 est égale à 1√(µo.eps0) ?
De quelle équation de Maxwell faut-il partir ?

Merci bcp par avance de m'aider car je suis vraiment coincée dans une impasse, je ne sais pas vers où aller

Re: Electromagnétisme 2

Posté : 12 oct. 2020 14:25
par Luckyos
L'idée c'est de partir de l'égalité $ \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}} \vec E) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div} \vec E) - \vec{\Delta} \vec E $ (vraie pour n'importe quel champ vectoriel pour lequel cette égalité a un sens), tu peux pas vraiment l'inventer mais il faut s'en souvenir.
Là il reste à utiliser deux équations de Maxwell à gauche et une à droite et tu tombes sur l'équation de D'alembert (aussi appelée équation des ondes) avec le $ c_0 $ qui convient, ce qui suffit à montrer que c'est une onde dont la vitesse de propagation est $ c_0 $.

ps : tu as le droit d'intervertir le rotationnel et la dérivée partielle par rapport au temps dans les calculs (c'est une conséquence du théorème de Schwarz parce qu'en physique on suppose qu'on peut dériver autant qu'on veut en gros).

pps : il suffit de considérer les équations de Maxwell dans le vide (donc les densités de charge et de courant sont nulles) car tu n'as besoin que de la vitesse de propagation dans le vide.

Re: Electromagnétisme 2

Posté : 12 oct. 2020 19:04
par jeveapgt
Merci de votre réponse.

Donc :

$ \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}} \vec E) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div} \vec E) - \vec{\Delta} \vec E $

Avec Maxwell-Faraday à gauche et Maxwell-Gauss à droite, on obtient :

$ \vec{\mathrm{rot}}(-\frac{\partial \vec B}{\partial t}) = \vec{\mathrm{grad}}(\frac{\rho }{\varepsilon _0}) - \vec{\Delta} \vec E $

Suis-je sur la bonne voie ?
Comment continuer ensuite ?

merci bcp

Re: Electromagnétisme 2

Posté : 12 oct. 2020 19:40
par Luckyos
Pour continuer tu relis mon message.

Re: Electromagnétisme 2

Posté : 12 oct. 2020 20:55
par jeveapgt
Merci.

Mais en fait ce que je ne comprends pas c'est ça : "il est possible d'intervertir le rotationnel et la dérivée partielle par rapport au temps."

En sachant cela, comment transformer mon égalité ?
Je n'y arrive pas...

Je débute vraiment avec rotationnel, divergence...
Désolée.

Re: Electromagnétisme 2

Posté : 12 oct. 2020 21:02
par Luckyos
Dans le rotationnel il n'y a que des différences de dérivées partielles donc c'est un opérateur linéaire : tu commences par sortir le moins.
Ensuite tu intervertis les symboles $ \vec{\mathrm{rot}} $ et $ \frac{\partial}{\partial t} $, c'est-à-dire que la dérivée partielle du rotationnel est égale au rotationnel de la dérivée partielle.
Par ailleurs $ \rho = 0 $ (cf pps).

Re: Electromagnétisme 2

Posté : 12 oct. 2020 21:50
par jeveapgt
J'obtiens donc, avec vos indications :

$ -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\mathrm{rot}} \vec {B})=-\vec \Delta \vec{E} $

Est-ce correct maintenant ?

Mais je ne vois toujours pas comment continuer....

Re: Electromagnétisme 2

Posté : 12 oct. 2020 22:30
par Krim
Bonsoir, tu peux encore utiliser les équations de Maxwell (dans le vide).

Re: Electromagnétisme 2

Posté : 12 oct. 2020 22:38
par jeveapgt
Merci !

J'arrive finalement à : $ \mu _0 \varepsilon _0 \frac{\partial^2 \vec {E}}{\partial t^2}=\Delta \vec{E} $

Mais comment, à partir de cette égalité, je peux montrer que le champ électrique est une onde dont la vitesse de propagation c0 est égale à 1√(µo.eps0) ?

Re: Electromagnétisme 2

Posté : 12 oct. 2020 23:44
par Hibiscus
Tu viens de le faire !
(Qu'est ce qu'une onde / a quelle equation obeit-elle ?)