Système d'équation "couplé", en mécanique du solide

Répondre

Messages : 2770

Enregistré le : 13 mai 2014 21:12

Classe : intégré

Système d'équation "couplé", en mécanique du solide

Message par Jay Olsen » 06 févr. 2021 12:41

Bonjour,

Après avoir sensiblement terminé mon projet de calcul de la position du soleil, je me suis cherché une autre petite occupation. Je pourrais y mettre la lune, mais cela représenterait surtout une production et non une recherche.

Je viens de créer un simulateur de vol complet, ce dont je suis assez content puisque c'est quelque chose qui n'est pas tout à fait évident, en 3A on avait étudié uniquement des simulateurs de vol partiels (vol dans le plan vertical sans virage, qu'on appelle longitudinal, ou vol en virage en supposant un vol à plat qu'on appelle latéral) et simplifiés (linéarisés).

J'ai donc tenté un simulateur plus complet, qui couple le vol longitudinal et le vol latéral. Pour ceci, la stratégie que j'ai employé consiste tout de même à simplifier un minimum les choses. Je ne vise pas de remplacer les meilleurs simulateurs utilisés par les équipes de recherche en dynamique du vol d'airbus (tout comme je ne cherchais pas à remplacer la NASA) mais simplement à obtenir quelque chose de représentatif voire plutôt réaliste.
Ce premier objectif est atteint mais je m'interroge sur certaines simplifications que j'ai du faire.

La stratégie utilisée consiste donc à projeter les forces dans un référentiel terrestre (x,y,z). Les moments ensuite sont calculés sur un référentiel avion (moments L, M, N).
En résumé, un moment autour de l'axe avion y (M), donne une accélération de l'assiette de l'avion, ce qui lui donne une vitesse de cabrage puis une assiette à cabrer. Cette assiette à cabrer forme un angle d'incidence (entre le flux d'air, c'est à dire le vecteur vitesse, et l'aile). Cette incidence donne une portance (force verticale), cette force verticale de portance donne une accélération verticale qui donne ensuite une vitesse verticale, et donc un angle de montée. L'angle de montée fait diminuer l'incidence, puis la portance, et donc l'avion peut ensuite se stabiliser en montée.

En virage, il y a à peu près la même chose. L'inclinaison donne une force latérale (projection de la portance). Ceci donne une vitesse latérale à l'avion. Ce qui crée un angle qu'on appelle le dérapage. Par stabilité de l'avion autour de son axe de lacet, le nez de l'avion est attiré dans le sens du virage, les choses se stabilisent, et l'avion peut faire son virage.

Mon modèle est représentatif au sens où on retrouve bien les résultats donnés par les calculs basiques de géométrie du point. Le taux de virage donné par w=g*tan(phi)/V² (phi = inclinaison) est bien compatible avec celui calculé dans mon simulateur.

Cependant, je m'interroge sur certaines simplifications que j'ai du faire.
Les équations en question sont :
Image
Image
u v w sont les projections de la vitesse de l'air selon les axes avions x y et z.
p q r sont les vitesses de rotation de l'avion autour de x y et z.
En schéma :
https://i.gyazo.com/d3e53eac158b86afefc ... c879a5.png

Le prof indique "Ce jeu d'équations peut se simplifier si l'axe principal d'inertie est aligné avec le trièdre avion (Ixz = 0). Malgré tout, les termes tels que qw et qr rendent ce système d'équation fortement couplé et non linéaire"

Je ne comprends pas deux ou trois choses :
Comment une force en z peut-elle donner un mouvement de rotation en roulis (p) accompagné d'une vitesse latérale v, ou une vitesse de tangage (q) accompagnée d'une vitesse u, sans changer l'accélération verticale w' ?
Imaginez que j'applique sur l'empennage horizontal une force verticale importante. Supposons que le poids et la portance se compensent à l'instant t parfaitement, et s'appliquent toutes deux au centre de gravité. Supposons que la force sur l'empennage soit égale au poids.
Elle créerait forcément une accélération vers le bas, non ? Et en plus, une rotation, mais forcément une accélération vers le bas, non ? D'après cette équation, il se pourrait que non.
Application numérique :
Avion de 2500kg, g=10, Fz = -25000N.
u = 100m/s, q = -Fz/(m*u) = 25000/2500/100 = 5.72 °/s.

Ce qui me fait d'autant plus douter de la validité de ces équations (ou au moins de la manière dont je les ai implémentées) c'est qu'elles font très facilement dériver mes courbes vers des singularités.
Mais ceci est peut-être du à une mauvaise manière d'implémenter la méthode de résolution.
Bizarrement, les mêmes équations sur les moments ne posent pas les mêmes problèmes.

Que veut dire "système d'équation fortement couplé" concrètement ? Cela impose de réduire le pas de calcul pour conserver de la précision ?

Sur le schéma de résolution, j'ai appliqué un bête Euler explicite.
Les résultats en essayant d'implémenter du RK4 par exemple seraient-ils bien meilleurs ?
Que peut-on espérer en termes d'amélioration des résultats ?
Par exemple, si j'ai une simulation Euler explicite avec un pas de 0.01s, à combien pourrais-je augmenter le pas avec RK4 en conservant la même précision ?

La suite du projet consistera à créer un "pilote automatique" afin d'être capable de maintenir le comportement de l'avion dans les clous, c'est à dire dans des positions réalistes où les équations restent valables (car les forces et moments ne sont bien modélisés que si le comportement de l'avion n'est pas absurde, c'est à dire petites incidences longitudinales et latérales, ou encore v et w << u). Ce qui s'approchera plus de la SI.

Merci
Toujours en train de calculer des matrices de rotation

Répondre