Exo Laplace

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Exo Laplace

Message par jeveapgt » 23 juin 2021 12:55

Bonjour,

J'ai des difficultés avec la question 3 de cet exercice : https://www.cjoint.com/data/KFxkz7Ok2L3_laplace1.png

Pourriez-vous m'expliquer comment on met en équation le problème ?
Et ensuite, comment le résoudre par la "méthode de Laplace" ?

J'imagine qu'il y a des transformations de Laplace dans l'affaire, mais comment s'en sort-on après ?

Merci beaucoup par avance pour l'aide, j'en ai bien besoin........ :(

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Re: Exo Laplace

Message par H2Fooko » 25 juin 2021 07:30

EDIT: Le lien de l'énoncé étant cassé :
exercice 6 - Poussée Thermique
Le sol sec est a une température uniforme égale à T0 = 2°C et sa diffusivité thermique α vaut 2,8.10^-7 m^2/s. La température à la surface (y = 0 cm) chute brusquement à T1 = -14°C et se maintient a ce niveau "suffisamment longtemps".
  1. Tracer sur un graphique l'évolution de F* (y, t = 62h) en fonction de y (entre 0 et 120 cm).
  2. Au bout de combien de temps la température dans le sol atteindra la valeur de -8°C à une profondeur de 50 cm.
  3. La température à la surface ne chute pas brusquement à T1 mais est soumise en réalité à un échange convectif et radiatif avec l'air environnant (qui lui est bien à la température T∞ = -14°C) via un coefficient d'échange convectif. Mettez en équation le problème en définissant un coefficient d'échange global hc et calculez l'expression générale du champ de température dans le sol par la méthode de Laplace. Quelle serait la température du sol à 50 cm au bout du temps t0 de la question 2-.
Bonjour jeveapgt

Puisque tu es bloqué à la question 3, tu pourrais peut être nous dire comment tu as résolu les 2 premières questions.
En effet tu incites fortement les gens de bonne volonté à refaire les 2 premières.
A ce propos je ne connais pas F* (y, t) car je n'ai pas ton cours sous les yeux.
Je suppose que c'est la fonction de 2 variables qui donne la température en fonction de l'altitude au sol et du temps ?
Pourquoi s'appelle-t-elle F* et pas T (comme Température) ?
C'est par convention ? Laquelle ?

Bref, ça serait sympa de nous indiquer tes pistes pour la question 3, à quelles équations te font penser les mots "convectif" et "radiatif".

Un schéma avec des capacités et résistances thermiques permettrait peut être de poser les équations ?

Fais comme si tu étais au tableau, commences et les profs qui passent par là se feront un plaisir de t'aider.
Modifié en dernier par H2Fooko le 31 juil. 2021 09:41, modifié 1 fois.
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Re: Exo Laplace

Message par H2Fooko » 26 juin 2021 20:38

Le www m'a permis de retrouver la fonction mystère F* (y,t) de la première question qui n'était pas définie dans l'énoncé :
$$ F^{*}(y,t)=T_{1}-\left( T_{1}-T_{0} \right).erf\left( \frac{y}{2.\sqrt[]{\alpha.t}} \right) $$ avec les notations de l'exercice et erf la fonction d'erreur de Gauss.

Avouez que ça ne s'invente pas sans une petite démo. 😋

La première chose est de retrouver l'équation de la chaleur :
SPOILER:
$$ \frac{\partial T}{\partial t}-\alpha.\nabla ^{2}T=\frac{S}{\rho.C_{p}} $$ avec $$ \left\{ \begin{array}{cl}
\alpha & : \text{diffusivité} \\
S & : \text{Source de chaleur}\\
\rho & : \text{Masse volumique}\\
C_{p} & : \text{Chaleur spécifique à pression constante}\\
\nabla ^{2} & : \text{Le Laplacien ou opérateur Laplacien}\\
T & : \text{Température}\\
t & : \text{temps}
\end{array} \right. $$
et de l'appliquer au cas qui nous intéresse, c.a.d.
Résolution de l’Equation de la chaleur instationnaire, dans un milieu semi-infini immobile isotrope homogène, avec des coefficients thermodynamiques constants et sans terme source
Le dessus j'ai apprécié le cours de M. P.-Y. Lagrée, qui à partir de l'équation de la chaleur, démontre l'expression de la température F* (y, t) dans notre cas :
SPOILER:
Sur ce lien:
http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS ... _resol.pdf
au paragraphe 3 où on reconnaitra la définition de la fonction erf citée plus haut.
A partir de là je n'ai pu m'empêcher d'utiliser geogebra qui m'a permis de tracer la solution de la Q1:

Image

Voilà pour la Question 1 :roll: en attendant la Q2
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Re: Exo Laplace

Message par H2Fooko » 14 juil. 2021 20:28

Fête nationale pluvieuse,
Question 2 laborieuse
On cherche ici la durée t au bout de laquelle la température Tc = -8 °C est atteinte à une profondeur de 50 cm (à diffusivité, Températures initiale et finale identiques à la Q1). Ce qui est normalement immédiat:
$$ t=\frac{1}{\alpha}\space.\left( \frac{y}{2\space.erf^{-1}\left( \frac{T_{1}-T_{c}}{T_{1}-T_{0}} \right)} \right)^{2} $$
Sauf que la fonction d'erreur de Gauss (erf) et sa réciproque ne possèdent pas d'expression fermée.
On note que la fonction $ erf^{-1} $ étant définie entre ]-1, +1[ il faut que To < Tc < T1 ce qui est vérifié avec les valeurs numériques données.

Maintenant on a 2 méthodes de résolution approchée :
SPOILER:
  • calcul en ligne : Wolfram donne 519,073 h
  • graphique : geogebra encore une fois 😎 soit 519,226 heures

Image

En négligeant les mn il faut donc 21 jours 15 heures pour que le sol atteigne -8°C à 50 cm de profondeur (avec les conditions initiales données).
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