Identité d'Euler

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Identité d'Euler

Message par Mathis1234 » 04 oct. 2020 17:17

Hey!
J'aimerai démonter l'identité d'Euler mais j'ai du mal à démarrer :/

Voici la formule :
$ Z(T,P,...,n_{i},...) = \sum_{i=1}^{N}n_{i}*(\frac{\partial Z}{\partial n_{i}})_{T,P,n_{j\neq i}}
$
Le prof a dit que c'était pas très compliqué mais j'avoue ne pas savoir où partir :D

Certains ont des idées ?
Merci et bonne après-midi !

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Re: Identité d'Euler

Message par Luckyos » 04 oct. 2020 17:57

Tu peux commencer par écrire la définition de l'extensivité de $ Z $ en commençant par $ \forall \lambda > 0 $. Ensuite il reste à dériver par rapport à lambda et c'est presque fini.
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Re: Identité d'Euler

Message par Hibiscus » 04 oct. 2020 18:28

Quelques petites remarques rapides,
Je ne pense pas que ce que tu as ecris soit appele "regulierement" l'identite d'Euler.
Pour ecrire ca, par contre, on invoque ce qui s'appelle le theoreme d'Euler (pas du tout au programme de prepa a mon avis), pour les fonctions homogenes. (En l'occurence ici, homogene d'ordre 1).

Une ecriture possible de ce theoreme est
Soit une fonction $ f~:~\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R} $ differentiable en tout point.
SPOILER:
En vrai, je crois que c'est pas R^n mais juste un cone de R^n
Elle est homogene de degre $k$ lorsque $ {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} ).} $
Ou, si tu preferes $ {\displaystyle \forall x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\quad \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)=kf(x)} $

Donc, tu ecris comme a dit Luckyos l'extensivite
SPOILER:
par exemple, pour un potentiel thermodynamique $\Phi$ quelconque, $w_{i}$ ses variables naturelles intensives et $z_{j}$ ses extensives,
Extensivité : $ {\displaystyle \Phi \left(\{w_{i}\},\{\alpha z_{j}\}\right)=\alpha \cdot \Phi \left(\{w_{i}\},\{z_{j}\}\right)} $
Puis le theoreme d'Euler, dans le cas k=1, soit, en gardant les notations du spoiler precedent
SPOILER:
$ {\displaystyle \Phi =\sum _{j}\left({\partial \Phi \over \partial z_{j}}\right)_{\{w_{i}\},\{z_{k\neq j}\}}\cdot z_{j}} $


Une preuve de ce theoreme est sur wiki :
SPOILER:
This result follows at once by differentiating both sides of the equation f (αy) = αkf (y) with respect to α, applying the chain rule, and choosing α to be 1.
The converse is proved by integrating. Specifically, let $ \textstyle g(\alpha )=f(\alpha \mathbf {x} ). $ Since $ {\displaystyle \textstyle \alpha \mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=kf(\alpha \mathbf {x} )}, $

$ {\displaystyle g'(\alpha )=\mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )={\frac {k}{\alpha }}f(\alpha \mathbf {x} )={\frac {k}{\alpha }}g(\alpha ).} $
Thus, $ \textstyle g'(\alpha )-{\frac {k}{\alpha }}g(\alpha )=0. $ This implies $ \textstyle g(\alpha )=g(1)\alpha ^{k} $. Therefore, $ \textstyle f(\alpha \mathbf {x} )=g(\alpha )=\alpha ^{k}g(1)=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} ): $f is positively homogeneous of degree k.
Lycée Masséna (Pcsi-PC*) -- École polytechnique (X15) -- PhD Student (Japon, Astrophysique) -- Ingé (spatial)

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Re: Identité d'Euler

Message par Mathis1234 » 05 oct. 2020 19:54

Bonsoir, merci je vais tester ça !

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