Exercice dérivation

[Tamador195]

Bonjour, je planche sur un exercice de dérivation :

Soit f de classe C1 allant de R dans R, telle que f^2+(1+f')^2=1 Montrer que f=0.

J'ai essayé quelques pistes : jouer avec l'expression et intégrer pour montrer que l'intégrale (sur un segment quelconque) de f^2 ou f'^2 est nulle, mais sans succès.

Quelqu'un aurait une idée ?

[versionpatch]

L'équation donne $ f'(x) \in [-2,0] $ et $f(x) \in [-1,1]$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. $f$ est donc décroissante sur $\mathbb{R}$. Tu peux supposer qu'il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) < 0$ puis étudier l'effet de la décroissance de $f$ sur $f'$.

SPOILER:

Sans perte de généralité, $x = 0$. On a $f(x) \leq f(0)$ pour tout $x > 0$ et $f'(x) = -1 \pm \sqrt{1-f(x)^{2}} \leq -1 + \sqrt{1-f(0)^{2}} = r < 0$ donc $f(x) \leq f(0) + rx \to -\infty$ ce qui est absurde. Le cas ou $f(0) > 0$ se fait de la même maniére mais en regardant les $x$ négatifs.

En fait, il existe des solutions locales non nulles de cette équation différentielle, mais aucune n'est définie sur tout $\mathbb{R}$. C'est pour cela que le comportement de $f$ en $\pm \infty$ intervient.

[H2Fooko]

$ f^{2}+(1+f')^{2}=1 $ équation (1)
$ \Leftrightarrow f^{2}=1-(f'+1)^{2} $ équation (2)
n'a de solution dans $ \mathbb{R} $ que si $ (f'+1)^{2}\leqslant 1 $ soit $ -2\leqslant f'\leqslant 0 $
ouf je retrouve le 1er résultat de versionpatch
de equation (1) ou (2) on tire l'équation (3) $ f'^{2}+2f'+f^{2}=0 $ du second degré en f' dont les 2 solutions sont: $ f'=-1\pm \sqrt{1-f^{2}} $
$ f' $ n'a de solution dans $ \mathbb{R} $ que si $ f^{2}\leqslant 1\Longleftrightarrow |f|\leqslant 1\Longleftrightarrow -1\leqslant f\leqslant 1 $
2ème ouf je retrouve le 2nd résultat de versionpatch
A partir d'ici j'encadre $ f' $ trouvé en résolvant l'équation (3) dans le 1ère inéquation de versionpatch et on utilisera une fonction croissante (respectivement décroissante) à appliquer sur l'encadrement sur 2 intervalles distincts (merci U46406 ).

SPOILER:

$ -2\leqslant-1\pm \sqrt{1-f^{2}}\leqslant 0 $ soit $ -1\leqslant \sqrt{1-f^{2}}\leqslant 1 $
Sur $ \mathbb{R^{+}} $ je peux écrire $ 1-f^{2}\leqslant 1\Longleftrightarrow f^{2}\geqslant 0 $ ça on savait déjà
Sur $ \mathbb{R^{-}} $ on peut écrire $ 1-f^{2}\geqslant 1\Longleftrightarrow f^{2}\leqslant 0 $
Donc sur tout $ \mathbb{R} $ la seule possibilité est $ f=0 $

Ce fut mon premier post en LaTeX

[JeanN]

Merci aux contributeurs.
Essayez de donner des pistes pour trouver plutôt que des solutions toutes faites la prochaine fois

[Tamador195]

Merci à vous! (quant au message de JeanN, je pense qu’il a raison: trouver par soi même est à mon avis TRÈS important pour bien comprendre et retenir l’exo. Mais je vous suis vraiment reconnaissant de m’avoir aidé!)

[H2Fooko]

Vous avez raison JeanN, je me suis emballé à utiliser LaTeX et à réveiller certains neurones endormis. Effectivement c'est ce que je répète au fiston de ne pas récupérer une solution trop tôt. Le problème doit macérer un certain temps ... pour mûrir. J'aurais dû utiliser le "spoiler" pour masquer, fonctionnalité que je n'ai pas encore utilisée.

[JeanN]

Vous avez raison JeanN, je me suis emballé à utiliser LaTeX et à réveiller certains neurones endormis. Effectivement c'est ce que je répète au fiston de ne pas récupérer une solution trop tôt. Le problème doit macérer un certain temps ... pour mûrir. J'aurais dû utiliser le "spoiler" pour masquer, fonctionnalité que je n'ai pas encore utilisée.

Si vous voulez vous remettre à Latex, vous pouvez utiliser overleaf