restriction d'un endomorphisme diagonalisable
restriction d'un endomorphisme diagonalisable
Bonjour,
je ne vois pas pourquoi la restriction d'un endomorphisme diagonalisable serait elle diagonalisable. Est ce que quelqu’un pourrait m'expliquer ?
je ne vois pas pourquoi la restriction d'un endomorphisme diagonalisable serait elle diagonalisable. Est ce que quelqu’un pourrait m'expliquer ?
Re: restriction d'un endomorphisme diagonalisable
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Dernière modification par H-M le 02 nov. 2020 17:27, modifié 1 fois.
Terminale S Lycée Saint-Médard 2017-2018
MPSI Descartes 2018-2019
MP* Descartes 2019-2020
CentraleSupélec 2020-?
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Re: restriction d'un endomorphisme diagonalisable
Si tu as comme outil le polynôme minimal $ \mu_f $ de $ f $ endomorphisme,
$ f $ diagonalisable $ \Longleftrightarrow $ $ \mu_f $ scindé simple
Alors en considérant $ g $ l'induit, tu as $ \mu_g $ divise $ \mu_f $ car $ \mu_f(g) = 0 $ donc $ \mu_g $ scindé simple donc $ g $ diagonalisable
$ f $ diagonalisable $ \Longleftrightarrow $ $ \mu_f $ scindé simple
Alors en considérant $ g $ l'induit, tu as $ \mu_g $ divise $ \mu_f $ car $ \mu_f(g) = 0 $ donc $ \mu_g $ scindé simple donc $ g $ diagonalisable
Re: restriction d'un endomorphisme diagonalisable
En fait il n'y a même pas besoin de considèrer précisément le polynôme minimal.
En effet, un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Cette propriété est bien sûr équivalente au fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples mais elle a l'avantage d'alléger les preuves comme celle-ci en considérant un même polynôme pour les deux endomorphismes.
En effet, un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Cette propriété est bien sûr équivalente au fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples mais elle a l'avantage d'alléger les preuves comme celle-ci en considérant un même polynôme pour les deux endomorphismes.
X2018
Re: restriction d'un endomorphisme diagonalisable
je n'ai aucune idée sur ce qu'est un polynôme annulateur ou polynôme minimal, je crois que ça ne fait pas partie du programme de PC. quelqu'un aurait-il une preuve que je puisse comprendre.
Re: restriction d'un endomorphisme diagonalisable
Ah, c'est effectivement un défi intéressant.
Je te propose l'énoncé détaillé suivant, qui ne contient aucune trace de polynôme d'endomorphisme ou de matrice :
Soit u un endomorphisme de E diagonalisable et F un sev de E stable par u.
On note $ \lambda_1,...,\lambda_p $ les valeurs propres de u deux à deux distinctes et $ E_1,...,E_p $ les sous-espaces propres associés.
1) Soit $ x\in F $. Justifier qu'il existe une unique liste $ (x_1,...,x_p) \in E_1\times...\times E_p $ telle que $ x=x_1+...+x_p $
On adoptera cette notation dans la suite pour n'importe quel vecteur de F.
2) Pour k entre 1 et p, on définit la propriété $ H_k $ :
"Pour tout y dans F, $ y_1=...=y_k=0_E $ implique $ (y_1,...,y_p)\in F^p $"
Démontrer $ H_k $ pour tout k entre 1 et p par récurrence finie descendante simple.
3) Soit $ x\in F $. En utilisant la question 2, montrer que $ (x_1,...,x_p)\in F^p $
4) En déduire qu'il existe une famille génératrice de F constituée de vecteurs propres de u
5) Conclure
Remarque :
Je crois que les prochains programmes de PC contiendront à nouveau les polynômes d'endomorphismes et de matrices donc ce genre d'acrobatie s'autodétruira.
En attendant j'espère que les amateurs du genre salueront la performance
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève