Endomorphisme d’endomorphismes

[lamdba]

Bonsoir et bonne rentrée à tous


Je bloque sur une question et j’aimerais avoir un indice svp :

On considère g un endomorphisme fixé et l’application suivante :

Φ : L(E) -> L(E)
f I—> fog - gof

On considère que Φ possède un vecteur propre f associé à la valeur propre α non nulle.
On admet que dim kerf = 1

J’ai montré que f est nilpotente et d’indice de nilpotence n=dim E

J’ai trouvé donc une base B de E
(f^n-1(x),... f(x),x) (avec f^n-1 (x) # 0) où la matrice de f est le bloc de Jordan d’ordre n

Ainsi on me demande de montrer que dans cette même base B, la matrice de g est triangulaire supérieur et je sèche un peu.


Merci pour votre aide

[prepamath]

En notant $ e_1,...,e_n = (f^{n-1}(x),...,x) $

Pour montrer que $ g $ est triangulaire supérieure dans cette base, il te suffit de montrer que pour $ 1 \leq i \leq n $, $ g(e_i) \in \rm Vect(e_j)_{j \leq i } $

Or en montrant que $ f $ est nilpotent, tu as du avoir une expression mélant $ g $ et les puissances de $ f $, ce qui devrait te permettre de conclure par récurrence.

[lamdba]

Oui d’accord

En utilisant que la relation qui les f (et ses itérés) et g ça marche bien.

Merci beaucoup !