Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

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Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Message par Mourien » 07 janv. 2021 17:33

Bonjour, je cherche l'énoncé suivant :
Dans $ E=\mathcal C([0, 1], \mathbb R) $ muni de la norme infinie, déterminer l'adhérence de $ X^p\mathbb R[X] $ pour $ p\in\mathbb N $.
Pour p=0, c'est E, pour p=1, c'est l'ensemble des fonctions qui s'annulent en 0 en utilisant le théorème de Weierstrass et un peu de convergence simple.

Pour $ p\ge 2 $, je peux montrer que l'adhérence contient $ \{f\in E : f(x) =_{x\rightarrow 0} o(x^{p-1})\} $, mais en condition nécessaire sur $ f $ dans l'adhérence, je n'ai pas mieux que $ f(0)=0 $...
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Message par JeanN » 07 janv. 2021 17:53

D'après https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... M%C3%BCntz tu n'auras pas mieux comme condition nécessaire.

Utilise judicieusement ta suite de polynômes préférée définie par récurrence qui converge uniformément sur [0,1] vers la fonction racine et ça devrait t'aider pour p=2

A adapter pour le cas général.
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Message par Mourien » 07 janv. 2021 18:14

Je ne vois pas trop quoi faire avec des racines p-emes, mais l'approximation uniforme de la racine me semble convenir !
Il me semble que $ P_0=0, \forall n\in\mathbb N, P_{n+1}=Pn+\dfrac{Id - P_n^2}2 $ converge uniformément vers la racine sur $ [0,1] $.

A partir de la on montre que $ X\mid P_n \Rightarrow X\mid P_{n+1} $ et donc $ \forall n, X\mid P_n $.

Ensuite, si l'on a $ X^pQ_n\rightarrow f $, on a donc par produit (fonctions bornées) $ X^{p-1}P_n^2Q_n\rightarrow f $ et $ X^{p+1}\mid X^{p-1}P_n^2Q_n $.

Donc l'adhérence de $ X^p\mathbb R[X] $ est l'ensemble des fonctions continues s'annulant en 0.
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Message par Mourien » 07 janv. 2021 21:26

J'ai relu la preuve et il y a quelque chose qui m'embête...

Je suis allé trop vite dans le passage
Mourien a écrit :
07 janv. 2021 18:14

Ensuite, si l'on a $ X^pQ_n\rightarrow f $, on a donc par produit (fonctions bornées) $ X^{p-1}P_n^2Q_n\rightarrow f $ [...]
En fait, on a
$ \vert \vert X^pQ_n-f\vert\vert_{\infty} \rightarrow 0 $ et $ \vert \vert P_n^2-X\vert\vert_{\infty} \rightarrow 0 $

Mais $ \vert\vert X^{p-1}P_n^2Q_n - f\vert\vert_{\infty} \le \vert\vert X^pQ_n-f\vert\vert_{\infty} + \vert\vert X^{p-1}Q_n\vert\vert_{\infty}\vert\vert P_n^2-X\vert\vert_{\infty} $

Mais $ (X^{p-1}Q_n) _{n\in\mathbb N} $ n'est pas nécessairement bornée...
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Message par JeanN » 07 janv. 2021 22:56

Si tu remplaces 2 par p dans ta récurrence, tu obtiens une suite de polynômes nuls en 0 qui qui cvu vers t^{1/p} je crois.
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Message par JeanN » 07 janv. 2021 23:20

Je crois qu'il faut diviser par p et pas par 2 pour la suite de polynômes (puis utiliser Bernoulli) pour démontrer la convergence uniforme.
J'ai sous les yeux un petit problème que j'avais posé il y a quelques temps qui démontre la convergence uniforme dans le cas p=3 et je pense que ça s'adapte bien.
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Message par Mourien » 07 janv. 2021 23:32

Je ne connais pas Bernoulli, je veux bien vous faire confiance pour la convergence uniforme vers la racine p-ème !

Si on prend $ P_n\rightarrow_{\infty} f $ par Weierstrass , on a $ P_n(0)\rightarrow f(0)=0 $ donc $ XQ_n=P_n-P_n(0)\rightarrow_{\infty} f $

Ici, si on note $ R_n\rightarrow_{\infty} (x\mapsto x^{-p}) $ avec $ X\mid R_n $, on a envie d'établir
$ R_n^pQ_n\rightarrow_{\infty} f $

Ce qui m'ennuie c'est que pour cela, comme auparavant, il faut que $ (Q_n) _{n\in\mathbb N} $ soit bornée pour la norme infinie.

Mais je n'arrive pas à le montrer à cause du X en 0...
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Message par JeanN » 07 janv. 2021 23:51

Avec une suite de polynômes convenable, on montre que X est dans l'adhérence qui va bien.
Puis X^2,..., non ?
Et Bernoulli = identité de Bernoulli

D'ailleurs, on sait qu'il existe A_n une suite de fonctions polynomiales qui cvu vers X^{1/p} sur [0,1].
A_n - A_n(0) converge uniformément encore vers X^{1/p} et vaut 0 en 0 donc pas besoin de récurrence explicite si je ne dis pas de bêtises.
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Message par Mourien » 08 janv. 2021 00:13

Oui tout à fait d'accord avec la construction pour la racine p-eme

Si on a $ R_n\rightarrow_{\infty} X^{\frac1p} $ [edit] avec 0 racine de chaque $ R_n $, alors $ X, X^2,... $ sont dans l'adhérence de $ X^p\mathbb R[X] $.
SPOILER:
si $ f_n, g_n $ cvu vers $ f, g $ bornes on a $ f_n\cdot g_n $ cvu vers $ fg $
Ainsi toute limite uniforme de polynômes admettant 0 comme racine est limite de polynômes admettant 0 comme racine d'ordre de multiplicité p.
Cela permet de conclure en traitant le cas p=1.

Sauf erreur.

Je trouve cela très fort. On arrive assez facilement à faire le cas p=1 et la propagation est vraiment remarquable je trouve !
N'y a t il pas une méthode plus directe, un peu dans l'esprit de ce que j'avais tenté plus haut ?
Modifié en dernier par Mourien le 08 janv. 2021 07:50, modifié 2 fois.
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Message par JeanN » 08 janv. 2021 00:26

Je ne sais pas trop... Par ailleurs, x^{-p} n'est pas x^{1/p} :)
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