Message
par autobox » 12 janv. 2021 19:21
Voici quelques précisions.
1) D'abord, la preuve détaillée de la question en utilisant le lemme de Fatou.
On commence par remarquer que $ f\geqslant f_0 $. C'est trivial, puisqu'il suffit de passer à la limite dans $ f_n\geqslant f_0 $...
Plus généralement, pour tous $ n $ et $ p $, on a $ f_{n}\leqslant f_{n+p} $, donc en faisant tendre $ p $ vers l'infini, on a aussi $ f\geqslant f_n $ qui tombe automatiquement.
Ceci ayant été fait, on va pouvoir appliquer le lemme de Fatou à la suite de fonctions positives $ (g_n) $ avec $ g_n = f_n-f_0 $ ; qui converge vers $ f-f_0 $, fonction positive. Note que rien ne prouve que f soit continue ou continue par morceaux et la convergence n'est pas forcément uniforme. Elle l'est, par contre, si $ I $ est compact et f continue en vertu du théorème de Dini. Je le précise, parce que cette partie peut poser problème en prépa, mais en réalité ces théorèmes sont vrais pour des fonctions beaucoup moins régulières que continues. Dans toute la suite, je supposerai que la continuité de $ f $ fait partie des hypothèses.
Lemme de Fatou je disais : dans $ \overline{\mathbb{R}} $, on a $ \int_I |f| = \int_I |f-f_0+f_0| \leqslant \int_I |f-f_0| + \int_I |f_0| = \int_I (f-f_0) + \int_I |f_0| \leqslant \liminf \int_I (f_n-f_0) + \int_I |f_0| = \liminf \int_I f_n + \int_I (|f_0|-f_0) $
Mais par hypothèse, il existe $ M>0 $ tel que $ \forall n, \int_I |f_n| \leqslant M $. Cela implique en particulier $ \liminf \int_I |f_n| \leqslant M $ et aussi $ \int_I |f_0|-f_0 \leqslant 2M $, d'où $ \int_I |f| \leqslant 3M < \infty $ et $ f $ est bien intégrable sur $ I $.
Réciproquement, si f est intégrable, l'inégalité de fonctions positives $ f_n-f_0\leqslant f-f_0 $ implique que pour tout $ n $, $ \int_I |f_n| \leqslant \int_I f-f_0 + \int_I |f_0| $. On a trouvé un majorant uniforme des intégrales des $ |f_n| $ : la suite demandée est bornée. D'où l'équivalence cherchée.
Reste à montrer l'égalité, qui est assez facile.
Déjà, la limite existe à coup sûr puisque $ (\int_I f_n) $ est croissante et majorée... Quant à la valeur, tout est conséquence cette fois-ci du théorème de convergence monotone, toujours sur la suite $ (g_n) $, qui est croissante, positive et tend vers la limite $ f-f_0 $, positive et continue.
2) Bien, maintenant, une preuve du lemme de Fatou. Soit $ (h_n) $ une suite de fonctions intégrables positives et soit $ h = \liminf h_n $ intégrable. Pour rappel, $ \displaystyle\liminf_{n\to\infty} h_n $ est une fonction toujours bien définie à valeurs dans $ \overline{\mathbb{R}} $. C'est en fait $ \displaystyle\sup_{n} \inf_{k\geqslant n} h_k $.
On pose pour tout n, $ t_n = \displaystyle\inf_{k\geqslant n} h_k $. Cela définit une suite de fonctions positives, intégrables (car majorées par $ h_n $) et croissante (plus l'ensemble est gros et plus l'inf est petit). Puisque la suite des intégrales des $ h_n $ est bornée, la suite des intégrales des $ t_n $ est convergente (croissante et majorée). La limite est le sup, justement.
On applique le TCM à la suite t. On trouve que $ \lim \int_I t_n = \int_I h $. Sauf que, en majorant chaque $ t_n $ par $ h_n $, on a bien $ \int_I h \leqslant \liminf \int_I h_n $, ce qu'il fallait démontrer.