$$ \begin{array} \\
\lambda_1+\dots+\lambda_n=0\\ \lambda_1^2+\dots+\lambda_n^2=0\\ \dots\\ \lambda_1^{n-1}+\dots+\lambda_n^{n-1}=0 \\ \lambda_1^n+\dots+\lambda_n^n=n\end{array} $$
$ \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}=\mathbb U_n $ les racines n-èmes de l'unité est une solution évidente, j'aimerais montrer que c'est la seule.
J'ai pensé à des polynômes interpolateurs mais je ne m'en sors pas. On peut aussi reconnaître une matrice de Vandermonde mais cette fois ce sont les coefficients qui sont les inconnues...
Enfin, comme j'ai déjà une solution, je pourrais aussi me contenter de l'unicité. J'ai donc fait la différence de deux solutions et cela se ramène à montrer que $ (\sum_{p+q=i-1}\lambda_j^p\mu_j^q)_{i,j} $ est inversible.
(j'essaie en fait de résoudre l'exercice
qui serait une conséquence immédiate de ce résultat).Soit $ A\in M_n(\mathbb C) $ telle que pour tout $ k\in[\! [1,n-1]\!], Tr(A^k) =0 $ et $ Tr(A^n) =n $. Montrer que $ A $ est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.
Merci d'avance et bonne soirée !