Bonjour, je bloque sur un problème qui fait appel à Stone Weirestsrass
Montrer que toute fonction croissante est limite uniforme de polynomes croissant.
Auriez vous des pistes ?
Densité Polynomes
Re: Densité Polynomes
Le résultat est faux. Si ta fonction est non continue, tu ne risques pas de l'obtenir comme limite uniforme de fonctions continues. Aussi, tu ne l'as pas précisé, mais j'imagine que tu travailles sur un ensemble localement compact ? Un compact ? Un segment ? [0,1] ?
Deux pistes que je te propose
1) Montrer que les polynômes de Bernstein associés à $ f $ sont croissants (sur le compact [0,1]). Ça se fait assez facilement en les écrivant comme des espérances de moyennes de v.a de Bernoulli. Tu peux prendre $ x\leqslant y $ et fabriquer un bon couplage (X,Y) de marginales Ber(x) et Ber(y) à partir d'une uniforme sur [0,1] par exemple. Tu obtiendras des inégalités P-presques sûres compatibles avec la croissance de f, et tu pourras ensuite prendre l'espérance sous P.
2) Approximer d'abord uniformément f par une fonction g au moins $ C^1 $ et croissante (facile avec Stone-Weierstrass)
Approximer ensuite $ \sqrt{g'} $ uniformément par des polynômes $ q_n $. Attention aux demi tangentes éventuelles, mais ça n'arrivera pas si g est assez régulière.
Une approximation de f par des polynômes croissants est ensuite donnée par les $ p_n(x) = f(0) + \int_0^x q_n(t)^2dt $. Ce sont automatiquement des fonctions polynômiales, et croissantes parce que l'integrand $ q_n^2 $ est positif.
Deux pistes que je te propose
1) Montrer que les polynômes de Bernstein associés à $ f $ sont croissants (sur le compact [0,1]). Ça se fait assez facilement en les écrivant comme des espérances de moyennes de v.a de Bernoulli. Tu peux prendre $ x\leqslant y $ et fabriquer un bon couplage (X,Y) de marginales Ber(x) et Ber(y) à partir d'une uniforme sur [0,1] par exemple. Tu obtiendras des inégalités P-presques sûres compatibles avec la croissance de f, et tu pourras ensuite prendre l'espérance sous P.
2) Approximer d'abord uniformément f par une fonction g au moins $ C^1 $ et croissante (facile avec Stone-Weierstrass)
Approximer ensuite $ \sqrt{g'} $ uniformément par des polynômes $ q_n $. Attention aux demi tangentes éventuelles, mais ça n'arrivera pas si g est assez régulière.
Une approximation de f par des polynômes croissants est ensuite donnée par les $ p_n(x) = f(0) + \int_0^x q_n(t)^2dt $. Ce sont automatiquement des fonctions polynômiales, et croissantes parce que l'integrand $ q_n^2 $ est positif.