Ambiguïté dans mon cours sur la convexité + exo de convexité

[joM5jo]

Bonjour/Bonsoir, en relisant mon cours sur la convexité je vois que toute fonction définie sur I convexe est dérivable à gauche et à droite en tout point appartenant à l'intérieur de I.
On en déduit donc que toute fonction définie sur I convexe est dérivable sur l'intérieur de I (n'est-ce pas ??? ). Puis en avançant je retrouve un titre 'Caractérisation des fonctions convexes dérivables' qui parle en outre de la convexité de f si est seulement si sa dérivée est croissante, et qui prend en hypothèses le fait que f est convexe ET dérivable sur l'intérieur de I.
Ma question : n'est-il pas suffisant de supposer que f est juste convexe ???

D'autre part, voici un exercice sur lequel je bloque, j'ai pensé à utilisé l'inégalité des pentes mais je ne vois pas comment :

Soit $ f $ une fonction réelle définie sur $ ]0,+\infty[ $. Montrer que la fonction
$ x\to xf(x) $ est convexe si et seulement si $ x\to f(\frac{1}{x}) $ l'est.

Merci de votre aide et éclaircissements !

[E3A 4ever]

Admettre une dérivée à droite et à gauche en tout point entraîne la continuité sur l'intérieur. En revanche pour être dérivable il faut que la dérivée à gauche soit égale à la dérivée à droite.

[Mourien]

$ x\mapsto f\big(\dfrac 1x\big) $ convexe ssi pour tous $ \lambda,\mu $ positifs et de somme $ 1 $, pour tous $ x,y $ strictement positifs, $ f\big(\frac1{\lambda x+\mu y}\big)\le \lambda f(\frac 1x)+\mu f(\frac 1y) $

De même $ x\mapsto xf(x) $ convexe ssi pour tous $ \alpha, \beta $ positifs de somme $ 1 $, pour tous $ u,v $ strictement positifs, $ (\alpha u +\beta v)f(\alpha u +\beta v)\le \alpha u f(u) + \beta v f(v) $

Fais apparaître ensuite une similitude entre ces inégalités et fais le changement de variable qui montre l'équivalence.

[joM5jo]

Admettre une dérivée à droite et à gauche en tout point entraîne la continuité sur l'intérieur. En revanche pour être dérivable il faut que la dérivée à gauche soit égale à la dérivée à droite.

Je vois merci beaucoup c'est clair

[joM5jo]

$ x\mapsto f\big(\dfrac 1x\big) $ convexe ssi pour tous $ \lambda,\mu $ positifs et de somme $ 1 $, pour tous $ x,y $ strictement positifs, $ f\big(\frac1{\lambda x+\mu y}\big)\le \lambda f(\frac 1x)+\mu f(\frac 1y) $

De même $ x\mapsto xf(x) $ convexe ssi pour tous $ \alpha, \beta $ positifs de somme $ 1 $, pour tous $ u,v $ strictement positifs, $ (\alpha u +\beta v)f(\alpha u +\beta v)\le \alpha u f(u) + \beta v f(v) $

Fais apparaître ensuite une similitude entre ces inégalités et fais le changement de variable qui montre l'équivalence.

Bonjour merci pour votre réponse.
Bon je pense que je tiens le changement de variable mais je ne sais pas exactement ce qui doit être transformé : $ x=\frac{1}{u} $ et $ y=\frac{1}{v} $ puis $ \lambda=\frac{\alpha u}{\alpha u +\beta v} $ et $ \mu=\frac{\beta v}{\alpha u +\beta v} $ ????

[JeanN]

Ben si tu as une preuve qui fonctionne, c'est que ton changement de variable fonctionne...

[joM5jo]

Ben si tu as une preuve qui fonctionne, c'est que ton changement de variable fonctionne...

Mais n'est-il pas faux de faire un changement de variable de $ \lambda $ et $ \mu $ dépendant de $ u $ et $ v $ ?

[JeanN]

Pourquoi ça serait faux ?
Essaye plutôt de rédiger ta preuve puis de la relire avec honnêteté pour détecter d'éventuels problèmes.