Exos sympas MP(*)

[oty20]

Soit $ (\epsilon_{k}) $ une suite de variables aléatoires identiques et indépendantes de Rademacher. Montrer que la fonction qui à x associe :
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k} x^{k} $

Admet presque sûrement une infinité de zéros sur [0,1]

Bonjour, de retour à cet exercice de mémoire il y avait pas eu de solution complète.

Deux solutions sont ici : https://artofproblemsolving.com/communi ... 8p20054723

(un an pour trouver lol )

[JeanN]

Merci pour la mise à jour !
Il va falloir encore un peu de travail de mon côté avant que je puisse envisager de le donner sereinement en colle

[Mourien]

Ma contribution à ce fil que j'apprécie énormément.
Deux exos très sympas :

Exo 1
Soit $ (D,\cdot) $ un demi-groupe (magma associatif) fini. On pose $ T=\underset{a,b\in D}{\displaystyle\bigcap}aDb $. Montrer que $ T $ est vide ou, muni de $ \cdot $, est un groupe.
$ T $ peut-il être vide?

[edit: j'ai écrit S au lieu de D]

Exo 2 (oral X)
Existe-t-il $ E $ un $ \mathbb C $- espace vectoriel de dimension infinie, $ f\in L(E) $ et $ x\in E $ tel que $ \{f^n(x), n\in \mathbb N\} $ soit dense dans $ E $ ?
Et en dimension finie ?

[autobox]

Mourien

Qu'est-ce que S dans le premier exo ?

Dans le deuxième, tu parles d'un ev normé (donc métrisable) ou d'un ev topologique ? Dans tous les cas, s'il en existe il sera forcément séparable (vu la conclusion). Aussi, tu parles d'une application linéaire, ou bien tu cherches une application linéaire continue ?

J'ai une solution constructive mais c'est à mon avis pas facile du tout
Tu prends l'espace $ l^2(\mathbb{C}) $ des suites complexes de carré intégrable, muni de sa base hilbertienne usuelle $ e_i = (\delta_{i,j}) $. On considère le vecteur $ x = (1/(n+1))_{n\in\mathbb{N}} $. On veut montrer que $ x $ est hypercyclique pour l'opérateur $ T $ qui envoie $ e_0 $ sur 0, et chaque $ e_i, i\geqslant 2 $ sur $ ae_{i-1} $, où $ a>1 $ est un réel fixé.
Comme chacun sait, la densité de l'ensemble des $ T^n(x) $ sera établie si on montre que son orthogonal est nul. C'est-à-dire encore, que le seul vecteur $ y $ tel que $ \langle T^n(x)|y\rangle = 0 $ pour tout n, est le vecteur nul.
Pour cela, on peut par exemple (notion hors-programme de prépa, il faudra tout refaire à la main ici) écrire cette condition sous la forme d'une équation faisant apparaitre une matrice infinie
$ \langle T^n(x)|y\rangle = 0 \Longleftrightarrow \begin{pmatrix}1&1/2&1/3&\cdots&1/j&\cdots\\
1/2&1/3&1/4&\cdots&1/(j+1)&\cdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_0\\y_1\\y_2\\\vdots\end{pmatrix} = 0 $

On peut montrer que la matrice opérateur des $ (1/(i+j-1))_{i,j\geqslant 1} $ est injective, ce qui impliquera $ y=0 $

[Mourien]

Bonjour autobox, merci de ta réponse !

E doit être cherché normé (topologique hors programme de prépa), l'application linéaire n'est pas cherchée continue.

Si j'ai bien compris ta preuve, il y a quelques choses qui me chiffonnent:

Comme chacun sait, la densité de l'ensemble des $ T^n(x) $ sera établie si on montre que son orthogonal est nul. C'est-à-dire encore, que le seul vecteur $ y $ tel que $ \langle T^n(x)|y\rangle = 0 $ pour tout n, est le vecteur nul.

Je ne connaissais pas cette propriété.
Mais attention, il s'agit de l'orthogonal de quelque chose qui n'est pas un SEV: si l'on considère $ (\delta_n) $ la base canonique de $ \mathbb C ^{(\mathbb N)} $, on a bien $ \{\delta_n|n\in \mathbb N\}^{\perp}=\{0\} $ mais c'est une partie fermée stricte de $ l^2(\mathbb C) $.

Si c'est un SEV la question se pose. Comment montres-tu $ F $ SEV du préhilbertien $ E $ avec $ F^{\perp}=\{0\} $ alors $ F $ dense ?

En me renseignant vite fait sur Internet, je suis tombé sur ça : :https://pierreallkenbernard.wordpress.c ... gonal-nul/
A noter que la réciproque s'établit assez facilement.

On peut montrer que la matrice opérateur des $ (1/(i+j-1))_{i,j\geqslant 1} $ est injective, ce qui impliquera $ y=0 $

Je ne comprends pas ce passage. On a $ H_{\infty}Y_{\infty}=0 $ (matrice de Hilbert et vecteur colonne infinis) mais cela n'implique pas $ \forall n, H_n Y_n=0 $ ?

Comment montrer que la matrice de Hilbert infinie est injective ?

(j'ai corrigé l'énoncé de l'exo d'algèbre)

Edit : D'ailleurs, qu'est-ce qu'une base hilbertienne ?
Je ne vois pas trop ce que sont les $ (\delta_{i,j}) $ autre que les suites (0,..., 1 (en i),0,0,...). Comment alors engendrer (combili finie) la suite harmonique de carré sommable ?

[autobox]

L'orthogonal d'une partie est égal à l'orthogonal de l'espace vectoriel qu'elle engendre, par linéarité du produit scalaire
Donc dans ton exemple, l'orthogonal d'une base (hilbertienne), c'est égal à l'orthogonal de la famille qu'elle engendre, c'est à dire l'ensemble tout entier. L'espace tout entier est évidemment dense dans lui-même
En fait c'est même mieux que ça, $ X^\perp = Vect(X)^\perp = \overline{Vect(X)}^\perp $. La preuve de ce fait est cachée dans le paragraphe suivant

Si F est dense dans E, alors son orthogonal est nul, parce que si y est orthogonal à F, il est orthogonal à toute suite d'éléments de F. Donc si je prends x dans E et une suite $ (x_n) $ qui l'approxime dans F, par continuité du produit scalaire (Cauchy-Schwarz), y est orthogonal à x. Et donc $ y \in E^\perp = \{0\} $. Donc $ F^\perp = \{0\} $.
Réciproquement, si F est d'orthogonal nul, son adhérence étant un fermé, on a $ E = \overline{F}\oplus\overline{F}^\perp = \overline{F}\oplus F^\perp = \overline{F}\oplus\{0\} = \overline{F} $, d'où la densité.


Pour l'écriture matricielle, il manque un $ \forall n $ devant $ \langle T^n(x),y\rangle $ dans mon équivalence. J'ai juste écrit mon infinité d'égalités sous forme de système infini si tu préfères. Sauf que ce sysyème infini est particulier parce qu'il provient d'un opérateur borné (i.e continu), ce qui n'est pas le cas de toutes les matrices infinies.
Si tu es plus à l'aise avec le mot "système", il s'agit de montrer que ton système n'a qu'une seule solution y, qui est le vecteur nul

[Mourien]

Je suis d'accord avec tout ce que tu as écrit !

Réciproquement, si F est d'orthogonal nul, son adhérence étant un fermé, on a $ E = \overline{F}\oplus\overline{F}^\perp = \overline{F}\oplus F^\perp = \overline{F}\oplus\{0\} = \overline{F} $, d'où la densité.

D'accord, très bien pour la réciproque !
cf: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... de_Hilbert

Mais ça ne résout pas le problème :

Si $ A\subset E $ et que $ \overline{Vect A}=E $ alors c'est bien $ Vect A $ qui est dense, et non (nécessairement) $ A $.

Ainsi pour $ A=\{\delta_n|n\in \mathbb N\} $ on n'a pas $ A $ dense. En revanche, $ Vect A =E $ l'est.

Ici ça pose problème car $ \{T^n(x)|x\in \mathbb N\} $ n'est pas un sous-espace vectoriel. Si je ne m'abuse tu prouves donc la densité de $ Vect \{T^n(x)|n\in \mathbb N\} $, ce qui n'est pas demandé (à moins de montrer qu'il s'agit d'un espace vectoriel).

Et j'aimerais bien la preuve de l'injectivité de la matrice de Hilbert infini.

Sinon, en ce qui concerne la base hilbertienne, on s'autorise les séries et pas uniquement les combinaisons linéaires donc c'est bon.
cf : https://fr.wikipedia.org/wiki/Base_de_Hilbert

[versionpatch]

Pour l'exercice deux de Mourien, est ce qu'on parle de l'ensemble lui même ou de son espace vectoriel engendré? Je pense que la réponse est non si c'est l'ensemble lui même dans les deux cas. Si c'est infini, soit $\{f^{n}(x), n \in \mathbb{N} \}$ est inclu dans un espace de dimension finie de $E$, soit que la famille est libre et donc n'est pas dense. Si l'espace est de dimension finie, l'image d'une racine $\lambda$ de $\chi_{f}$ par les restes de la division euclidienne de $X^{k}$ par $\chi_{f}$ prend des valeurs dont l'ensemble n'est pas dense dans $\mathbb{C}$ et ceci permet de conclure.

[Mourien]

Versionpatch, la famille peut être libre et dense. Vu que l'espace est de dimension infinie, il y a de la place.
Pourrais-tu juste préciser pour le cas dimension finie mais je pense que c'est ça!

[Mourien]

Pour moi le plus clair c'est de l'écrire matriciellement :
Vu $ \mathbb C $ algébriquement clos, $ f $ est trigonalisable.

Si on regarde dans une base de trigonalisation $ (e_1,...,e_n) $ les itérés de $ f $ évalués en $ x=\lambda_1 e_1+ \dots+\lambda_n e_n $, on a :
$ f^m(x)=?e_1+\dots+?e_{n-1}+\mu^m\lambda_n e_n $, où $ \mu $ est le coefficient nn de la matrice de f dans la base de trigonalisation.

Le problème c'est que $ \{\mu^m|m\in \mathbb N\} $ n'est jamais dense dans $ \mathbb C $. Par équivalence des normes en dimension finie, on voit que cela empêche l'ensemble des itérés de f en x d'être dense.