Rang linéaire ?
Rang linéaire ?
Bonjour,
J'aimerais savoir, le rang est-il linéaire ?
La trace étant linéaire, on sait que
Tr(p)=rg(p) avec p un projecteur en dim finie, d'où ma question.
J'aimerais savoir, le rang est-il linéaire ?
La trace étant linéaire, on sait que
Tr(p)=rg(p) avec p un projecteur en dim finie, d'où ma question.
Re: Rang linéaire ?
Bah déjà, avec A et B deux matrices, rg(A + B) ≤ rg(A) + rg(B), (avec égalité si et seulement si, les images de A et B ne s'intersectent qu'en zéro et les images des transposées ne s'intersectent qu'en zéro.)
Donc faudrait définir le rang de quoi..
Donc faudrait définir le rang de quoi..
Masséna (PC*) -- X15 -- Spatial.
Re: Rang linéaire ?
En général, rg(f+g) est seulement inférieur à rg(f)+rg(g).Bracadabracx a écrit : ↑25 mars 2021 16:28Bonjour,
J'aimerais savoir, le rang est-il linéaire ?
La trace étant linéaire, on sait que
Tr(p)=rg(p) avec p un projecteur en dim finie, d'où ma question.
Par ailleurs, si $\lambda$ est un scalaire non nul, rg(\lambda f)=rg(f)$ et là encore, on est assez loin d'une propriété de linéarité.
En revanche, si une somme de projecteurs est encore un projecteur, alors la somme des rangs est aussi le rang de la somme.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Rang linéaire ?
Preuve : Supposons que $ (p+q)^2 = (p+q) = p^2+q^2 $. Alors $ pq+qp = 0 $ en développant $ (p+q)^2 $. On en déduit que $ (qp)^2 = qpqp = -qpq = (-1)^2(qp) = qp $ donc $ qp $ est un projecteur, et de même pour $ pq $. Or, si $ P $ et $ \alpha P $ sont des projecteurs non nuls, $ \alpha P = (\alpha P)^2 = \alpha^2P^2 = \alpha^2 P $ implique $ \alpha(\alpha-1)P = 0 $ et donc $ \alpha = 1 $. On en déduit que $ qp = pq = 0 $.
L'incusion $ \textrm{Im}(p+q)\subseteq \textrm{Im}(p)+\textrm{Im}(q) $ est triviale. Réciproquement, si $ x = p(a)+q(b) $ alors $ q(x) = 0 + q^2(b)=q(b) $ et $ p(x) = p^2(a) + 0 = p(a) $ donc $ x = p(x)+q(x) = (p+q)(x)\in \textrm{Im}(p+q) $.
Enfin, si $ x\in \textrm{Im}(p)\cap \textrm{Im}(q) $, $ x=p(a)=q(b) $ alors $ p(x) = p(a) = pq(b) = 0 $ (et $ q(x) = q(b) = qp(a) = 0 $) donc $ x = p(a) = 0 $ (et $ x = q(b) = 0 $).
D'où $ \textrm{Im}(p)\oplus\textrm{Im}(q) = \textrm{Im}(p+q) $ puis $ \textrm{rg}(p)+\textrm{rg}(q) = \textrm{rg}(p+q) $.
Re: Rang linéaire ?
Et dans le cas général, on utilise la trace (en supposant qu'on considère des projecteurs d'un K-ev de dimension finie).
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Rang linéaire ?
Quel cas général ?
Sinon, pour les profs et les chercheurs qui passent par là, le spectre (en dimension quelconque) d'un projecteur P est toujours inclus dans {0,1}. C'est {0} si P=0 et c'est {1} si P = Id. Sinon, P est annulé par la fonction holomorphe $ x\mapsto x^2-x $ donc son spectre est inclus dans l'ensemble des zéros de P. Ou plus directement, si on travaille dans une algèbre de Banach commutative, c'est exactement l'ensemble des {f(P) | f caractère de A}.
Aussi, pour tout élément normal P d'un Hilbert, il existe une unique mesure spectrale telle que $ f(P) = \int_{\sigma(P)} f dE $ pour tout fonction continue sur le compact (non vide) $ \sigma(P) $ à valeurs complexes. Dans le cas d'un projecteur, ça veut dire n'importe quelle fonction et on peut donc définir sans aucune ambiguité f(P) comme étant $ (f(1)-f(0))P + f(0)Id $ pour toute fonction f à valeurs complexes !
Sinon, pour les profs et les chercheurs qui passent par là, le spectre (en dimension quelconque) d'un projecteur P est toujours inclus dans {0,1}. C'est {0} si P=0 et c'est {1} si P = Id. Sinon, P est annulé par la fonction holomorphe $ x\mapsto x^2-x $ donc son spectre est inclus dans l'ensemble des zéros de P. Ou plus directement, si on travaille dans une algèbre de Banach commutative, c'est exactement l'ensemble des {f(P) | f caractère de A}.
Aussi, pour tout élément normal P d'un Hilbert, il existe une unique mesure spectrale telle que $ f(P) = \int_{\sigma(P)} f dE $ pour tout fonction continue sur le compact (non vide) $ \sigma(P) $ à valeurs complexes. Dans le cas d'un projecteur, ça veut dire n'importe quelle fonction et on peut donc définir sans aucune ambiguité f(P) comme étant $ (f(1)-f(0))P + f(0)Id $ pour toute fonction f à valeurs complexes !
Re: Rang linéaire ?
Celui-ci
Soit $p_1,\ldots,p_k$ des projecteurs d'un $K$-ev de dimension finie $E$.
On suppose que $p_1+\cdots+p_k$ est un projecteur.
Alors $rg(p_1+\cdots+p_k)=rg(p_1)+\cdots+rg(p_k)$.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève